Le théorème taubérien de Newman

Préliminaires. Pour $z = x + iy$, $|e^{-zt}| = e^{-xt}$. Pour $x > 0$, $|f(t)e^{-zt}| \leqslant Be^{-xt}$, d'intégrale convergente, d'où la convergence de $g(z)$ (Sommation d'Abel, (i)), et $$|g(z) - g_T(z)| \leqslant \frac{B e^{-xT}}{x},$$ où $g_T(z) = \int_0^T f(t)e^{-zt}\,dt$.

La fonction $g_T$ est holomorphe sur ${\mathbb C}$. En effet, soit $0 = t_0 < \cdots < t_r = T$ une subdivision telle que, sur chaque $]t_{j-1}, t_j[$, $f$ se prolonge en une fonction $f_j$ continue sur $[t_{j-1}, t_j]$ ; comme la valeur aux points de la subdivision ne modifie pas les intégrales, $g_T(z) = \sum_j \int_{t_{j-1}}^{t_j} f_j(t)e^{-zt}\,dt$, somme finie de fonctions holomorphes par Limites holomorphes, (ii), avec $h = f_j$ et $\lambda(t) = -t$. Pour $x < 0$, $$\begin{aligned} |g_T(z)| &\leqslant \int_0^T Be^{-xt}\,dt \\ &\leqslant \frac{Be^{-xT}}{|x|}. \end{aligned}$$

Le contour. Fixons $R > 0$. Soit $W$ l'ouvert sur lequel $g$ est holomorphe. La distance d'un point au complémentaire de $W$ (prise égale à $1$ si $W = \mathbb C$) est une fonction continue et strictement positive sur le compact $\{iy : |y| \leqslant R + 1\}$ : elle y a un minimum $m > 0$. Sur l'ouvert convexe $$U = \{|z| < R + 1,\ \operatorname{Re} z > -m\},$$ $g$ est holomorphe, car $U \subset W$. En effet, si $z \in U$ et $\operatorname{Re} z < 0$, le point $i\operatorname{Im} z$ est sur le compact précédent, puisque $|\operatorname{Im} z| \leqslant |z| < R + 1$, et $|z - i\operatorname{Im} z| = |\operatorname{Re} z| < m$, donc $z \in W$ ; si $\operatorname{Re} z \geqslant 0$, c'est l'hypothèse.

Soit $\delta = \frac12\min(m, R)$, et $\theta_1$ le plus petit réel de $[\frac\pi2, \pi]$ tel que $\cos\theta_1 = -\delta/R$, qui existe par les valeurs intermédiaires puisque $\cos\frac\pi2 = 0$, $\cos\pi = -1$ et $0 < \delta/R < 1$ ; il appartient à $]\frac\pi2, \pi[$.

Le contour $C$ parcourt l'arc $\theta \mapsto Re^{i\theta}$, $\theta \in [-\theta_1, \theta_1]$, puis le segment vertical de $Re^{i\theta_1}$ à $Re^{-i\theta_1}$, situé sur la droite $\operatorname{Re} z = -\delta$.

On a $\cos > 0$ sur $[0, \frac\pi2[$, et $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ puisque $e^{i\pi} = -1$ ; donc $\cos < 0$ sur $]\frac\pi2, \pi]$, et, par le choix de $\theta_1$, $C$ est contenu dans $U$.

Indice. Montrons $\int_C \frac{dz}{z} = 2i\pi$. Sur l'arc, $\frac{dz}{z} = i\,d\theta$, d'où la contribution $2i\theta_1$.

Sur le demi-plan convexe $\operatorname{Re} z < 0$, $1/z$ a une primitive holomorphe $L$ (Cauchy, ouverts convexes), que l'on normalise par $L(-1) = i\pi$. La dérivée de $z e^{-L(z)}$ est nulle, donc $e^{L(z)} = z$.

Pour $\theta \in \,]\frac\pi2, \frac{3\pi}2[$, $L(Re^{i\theta}) - \ln R - i\theta$, où $\ln$ est le logarithme réel (Logarithme, puissances), est continue, à valeurs dans $2i\pi{\mathbb Z}$ (Le nombre π, (ii)), nulle en $\theta = \pi$ par le même argument sur la demi-droite des réels négatifs ; elle est donc nulle. Le segment, contenu dans $\operatorname{Re} z < 0$, contribue $$\begin{aligned} &L(Re^{i(2\pi - \theta_1)}) - L(Re^{i\theta_1}) \\ &\qquad = i(2\pi - 2\theta_1). \end{aligned}$$ Au total, $2i\pi$.

Formule de Cauchy. Posons $$\begin{aligned} F(z) &= \big(g(z) - g_T(z)\big) \\ &\quad \times e^{zT}\Big(1 + \frac{z^2}{R^2}\Big), \end{aligned}$$ holomorphe sur $U$. La fonction $\frac{F(z) - F(0)}{z}$, prolongée par $F'(0)$, est continue sur $U$ et holomorphe hors de $0$ : son intégrale sur $C$ est nulle (Cauchy, ouverts convexes). Donc $$\begin{aligned} g(0) - g_T(0) &= F(0) \\ &= \frac{1}{2i\pi}\int_C F(z)\,\frac{dz}{z}. \end{aligned}$$

Pour $|z| = R$, $\frac1z = \frac{\bar z}{R^2}$, d'où $$\Big|\frac1z + \frac{z}{R^2}\Big| = \frac{2|x|}{R^2}.$$

Arc droit $C_+$, où $x \geqslant 0$ : l'intégrande est majoré par $$\frac{Be^{-xT}}{x}\,e^{xT}\frac{2x}{R^2} = \frac{2B}{R^2},$$ et la longueur est $\pi R$ ; la contribution est au plus $B/R$.

Partie gauche $C_-$, où $x < 0$. Pour le terme en $g_T$, entier, on remplace $C_-$ par le demi-cercle gauche $$C'_- = \{Re^{i\theta} : \frac\pi2 \leqslant \theta \leqslant \frac{3\pi}2\} :$$ le chemin fermé formé du segment et de l'arc $\theta \in [\theta_1, 2\pi - \theta_1]$ est contenu dans le demi-plan convexe $\operatorname{Re} z < 0$, où l'intégrande est holomorphe, et son intégrale est nulle. Sur $C'_-$, l'intégrande est majoré par $$\frac{Be^{-xT}}{|x|}e^{xT}\frac{2|x|}{R^2} = \frac{2B}{R^2} :$$ contribution au plus $B/R$.

Pour le terme en $g$, l'intégrande est $g(z)\big(\frac1z + \frac{z}{R^2}\big)e^{zT}$, majoré par $M e^{xT}$, avec $M$ indépendant de $T$.

Pour $0 < \tau < \theta_1 - \frac\pi2$, découpons $C_-$ en deux petits arcs voisins de $\pm iR$, de paramètres $\theta \in [\frac\pi2, \frac\pi2 + \tau]$ et son symétrique, de longueur totale $2R\tau$, et le reste, sur lequel $x \leqslant -\kappa < 0$ par continuité et compacité. La contribution est au plus $$2MR\tau + M\,L(C)\,e^{-\kappa T},$$ qui est inférieure à $3MR\tau$ pour $T$ grand.

Conclusion. On a $$\begin{aligned} &\limsup_{T \to +\infty} |g(0) - g_T(0)| \\ &\qquad \leqslant \frac{2B}{R} + 3MR\tau \end{aligned}$$ pour tout $\tau$, donc $\leqslant 2B/R$, et $R$ est arbitraire : $g_T(0) = \int_0^T f \to g(0)$.