Limites et intégrales de fonctions holomorphes

(i) Soit $\overline D(c, r) \subset U$. Pour $|z - c| < r$, la formule de Cauchy (Formule de Cauchy, (ii)) donne $$f_n(z) = \frac1{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{f_n(w)}{w - z}\,dw.$$ Comme $f_n \to f$ uniformément sur le cercle, on passe à la limite (Convergence uniforme, (iii)) : $$f(z) = \frac1{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{f(w)}{w - z}\,dw,$$ où $f$ est continue comme limite uniforme.

La démonstration du nœud Analyticité n'utilise que cette représentation et la continuité de $f$ sur le cercle : $f$ est développable en série entière sur $D(c, r)$, donc holomorphe. Enfin, par le même nœud appliqué en $c$, $$f_n'(c) = \frac1{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{f_n(w)}{(w - c)^2}\,dw,$$ qui tend vers l'intégrale analogue pour $f$, c'est-à-dire $f'(c)$.

(ii) Soit $B = \sup |h|$ et $\Lambda = \sup |\lambda|$, finis puisque $|h|$ et $|\lambda|$ sont continues sur un segment (Bornes atteintes). Pour $|z| \leqslant \rho$, la série $\sum_m h(t)\frac{(z\lambda(t))^m}{m!}$ converge uniformément en $t$, son terme étant majoré par $B\frac{(\rho\Lambda)^m}{m!}$.

En intégrant terme à terme (Convergence uniforme, (iii)), $F(z) = \sum_m c_m z^m$ avec $c_m = \frac1{m!}\int_a^b h\lambda^m$, et $$|c_m| \leqslant 2(b - a)B\frac{\Lambda^m}{m!} :$$ c'est une série entière de rayon infini, donc une fonction holomorphe (Dérivation terme à terme).