Formule intégrale de Cauchy

(i) Le disque fermé est compact (Suites et séries complexes) et contenu dans l'ouvert $U$. Considérons tous les disques ouverts $D(u, t)$ tels que $u \in \overline D(c, r)$, $t > 0$ et $D(u, 2t) \subset U$. Ils recouvrent le disque fermé, puisque chacun de ses points $u$ est le centre d'un disque ouvert contenu dans $U$. On en extrait un nombre fini, $D(u_1, t_1), \dots, D(u_n, t_n)$, qui le recouvrent encore, et l'on pose $s = \min_j t_j$ ; aucun choix n'intervient, puisque la famille est définie sans désigner un rayon pour chaque point.

Si $|z - c| < r + s$, il existe un point $u$ du disque fermé avec $|z - u| < s$ : le point $z$ lui-même, ou $c + r\frac{z - c}{|z - c|}$. Ce point $u$ appartient à un $D(u_j, t_j)$, donc $|z - u_j| < t_j + s \leqslant 2t_j$, et $z \in U$.

(ii) Soit $s$ comme en (i) ; le disque $D(c, r + s)$, contenu dans $U$, est convexe.

Le noyau. Soit $g(w) = \frac{f(w) - f(z)}{w - z}$ pour $w \neq z$ et $g(z) = f'(z)$ : elle est continue sur $D(c, r + s)$ et holomorphe hors de $z$. Par le théorème de Cauchy convexe (Cauchy, ouverts convexes), $\int_{C(c,r)} g = 0$, d'où $$\int_{C(c,r)} \frac{f(w)}{w - z}\,dw = f(z)\int_{C(c,r)} \frac{dw}{w - z}.$$

Le calcul. Pour $w$ sur le cercle, $$\frac{1}{w - z} = \frac{1}{w - c}\cdot\frac{1}{1 - q}$$ avec $q = \frac{z - c}{w - c}$, de module $\frac{|z - c|}{r} < 1$ constant. La série géométrique converge donc uniformément sur le cercle (Convergence uniforme) : $$\frac{1}{w - z} = \sum_n \frac{(z - c)^n}{(w - c)^{n+1}}.$$

En intégrant terme à terme, seul le terme $n = 0$ contribue (Intégrale curviligne), et $\int_{C(c,r)} \frac{dw}{w - z} = 2i\pi$.