Théorème 6Analyse complexe

Théorème de Cauchy pour un ouvert convexe

Une partie $C$ de $\mathbb C$ est convexe si $(1 - t)a + tb \in C$ pour tous $a, b \in C$ et $t \in [0, 1]$ ; comme la bijection $a + ib \mapsto (a, b)$ de $\mathbb C$ sur $\mathbb R^2$ respecte la somme et la multiplication par un réel, cela revient à la convexité de l'image de $C$ dans $\mathbb R^2$ .

Énoncé

Soit $U$ un ouvert convexe, $p \in U$ , et $f$ continue sur $U$ , holomorphe sur $U \setminus \{p\}$ . Alors $f$ a une primitive holomorphe sur $U$ , et $\int_\gamma f = 0$ pour tout chemin fermé C^1 par morceaux de $U$ .

Démonstration

Fixons $a \in U$ et posons $F(z) = \int_{[a, z]} f$ , intégrale sur le segment de $a$ à $z$ , contenu dans $U$ par convexité. Pour $z + h \in U$ , le triangle de sommets $a, z, z + h$ est dans $U$ , et le lemme de Goursat (Lemme de Goursat) donne $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]} f.$

Le triangle de sommets

a

z

z + h

est contenu dans l'ouvert convexe

U

, et l'intégrale de

f

sur son bord est nulle : le segment bleu, qui donne

F(z)

, suivi du côté rouge

[z, z + h]

, a la même intégrale que le segment vert, qui donne

F(z + h)

Comme $\int_{[z, z+h]} f(z)\,dw = h f(z)$ , $\begin{aligned} &\Big|\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z)\Big| \\ &\quad = \frac{1}{|h|}\Big|\int_{[z, z+h]} \big(f(w) - f(z)\big)\,dw\Big| \\ &\quad \leqslant \sup_{w \in [z, z+h]} |f(w) - f(z)|, \end{aligned}$ qui tend vers $0$ par continuité de $f$ (Intégrale curviligne). Donc $F' = f$ , et l'intégrale sur un chemin fermé est nulle.

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Remarque

La convexité sert à tracer les segments. Elle ne peut pas être supprimée : sur la couronne $\{1 < |z| < 3\}$ , la fonction $1/z$ est holomorphe, mais son intégrale sur le cercle de rayon $2$ vaut $2i\pi$ . Ce sont les « trous » de l'ouvert, mesurés par le groupe fondamental, qui font obstacle.

Remarque

Le théorème s'étend pourtant à la couronne sous une forme affaiblie : l'intégrale sur un cercle centré n'y dépend plus du rayon (Cauchy sur une couronne). C'est le point de départ des séries de Laurent et du théorème des résidus, qui mesure exactement la contribution de chaque « trou » ponctuel (Théorème des résidus).

Repose sur

Lemme de Goursat

Sert à

Formule intégrale de Cauchy