Théorème et formule de Cauchy sur une couronne

(i) Des secteurs dans des convexes. Comme $\cos$ est continue en $0$, où elle vaut $1$, et que $r_1/\rho_1 < 1$, il existe un entier $N \geqslant 2$ tel que $\rho_1\cos\frac\pi N > r_1$ (propriété d'Archimède, Archimède, densité de ℚ). Pour $0 \leqslant k \leqslant N$, posons $\theta_k = \frac{2k\pi}N$ et, pour $k < N$, $\varphi_k = \theta_k + \frac\pi N$, $u_k = \exp(-i\varphi_k)$ et $$\begin{aligned} V_k = \big\{w :\ &|w - c| < r_2, \\ &\operatorname{Re}\big((w - c)u_k\big) > r_1\big\}. \end{aligned}$$

C'est l'intersection d'un disque et d'un demi-plan ouverts : un ouvert convexe, la fonction $w \mapsto \operatorname{Re}\big((w - c)u_k\big)$ étant continue et affine. Il est contenu dans $A$, puisque cette partie réelle est au plus $|w - c|$.

Pour $\rho \in [\rho_1, \rho_2]$ et $\theta \in [\theta_k, \theta_{k+1}]$, le point $c + \rho\exp(i\theta)$ appartient à $V_k$. En effet, la partie réelle en question vaut $\rho\cos(\theta - \varphi_k)$ (Exponentielle, (ii)), et $|\theta - \varphi_k| \leqslant \frac\pi N \leqslant \frac\pi2$. Or $\cos$ est paire, puisque $\exp(-it) = \overline{\exp(it)}$, et décroissante sur $[0, \frac\pi2]$, puisque $\cos' = -\sin$ (Exponentielle, (iv)) et que $\sin \geqslant 0$ sur cet intervalle : sur $[0, \frac\pi2[$, $\sin = \tan \cdot \cos$ avec $\tan \geqslant 0$ et $\cos > 0$ (Tangente, cos et sin, (iii), et Cosinus et sinus sur ℝ, (ii)), et $\sin\frac\pi2 = 1$. Enfin $|w - c| = \rho < r_2$, et $$\rho\cos(\theta - \varphi_k) \geqslant \rho_1\cos\frac\pi N > r_1.$$

Primitives. Par le théorème de Cauchy convexe (Cauchy, ouverts convexes), appliqué sur $V_k$ avec le point $p$ s'il appartient à $V_k$ et un point quelconque sinon, $g$ a sur $V_k$ une primitive holomorphe $G_k$.

Notons $a_k = c + \rho_1\exp(i\theta_k)$ et $b_k = c + \rho_2\exp(i\theta_k)$, et $J_k$ l'intégrale de $g$ le long du segment $\sigma_k : s \mapsto c + s\exp(i\theta_k)$, $s \in [\rho_1, \rho_2]$, qui va de $a_k$ à $b_k$. Comme $\exp(2i\pi) = 1$, on a $\sigma_N = \sigma_0$ et $J_N = J_0$.

Le télescopage. Notons $I_k(\rho) = \int_{\theta_k}^{\theta_{k+1}} g(c + \rho\exp(it))\,i\rho\exp(it)\,dt$ l'intégrale de $g$ le long de la restriction du cercle $C(c, \rho)$ à $[\theta_k, \theta_{k+1}]$. Pour $\rho = \rho_1$ et $\rho = \rho_2$, ces arcs, ainsi que les segments $\sigma_k$ et $\sigma_{k+1}$, sont des chemins de $V_k$, et leurs intégrales se lisent sur $G_k$ (Intégrale curviligne, (ii)) : $$\begin{aligned} I_k(\rho_2) - I_k(\rho_1) &= G_k(b_{k+1}) - G_k(b_k) \\ &\quad - G_k(a_{k+1}) + G_k(a_k) \\ &= J_{k+1} - J_k. \end{aligned}$$

On somme pour $k = 0, \dots, N - 1$. À gauche, la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (iii)), appliquée aux parties réelle et imaginaire, donne $\int_{C(c, \rho_2)} g - \int_{C(c, \rho_1)} g$ ; à droite, la somme vaut $J_N - J_0 = 0$.

(ii) Fixons $z$, et posons $g(w) = \frac{f(w) - f(z)}{w - z}$ pour $w \neq z$, et $g(z) = f'(z)$. Cette fonction est continue sur $A$, en $z$ par définition de la dérivée, et holomorphe sur $A \setminus \{z\}$ (Fonctions holomorphes, (ii)). Par (i), $$\int_{C(c, \rho_2)} g = \int_{C(c, \rho_1)} g.$$

En développant $g$, chacun des deux membres est la différence entre l'intégrale de $\frac{f(w)}{w - z}$ et $f(z)$ fois celle de $\frac{1}{w - z}$. Or $\frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, \rho_2)} \frac{dw}{w - z} = 1$ et $\frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, \rho_1)} \frac{dw}{w - z} = 0$, puisque $|z - c| < \rho_2$ et $|z - c| > \rho_1$ (Indice d'un lacet, (v)). L'égalité devient la formule annoncée.