Propriétés de l'intégrale de Riemann

On utilise le critère d'intégrabilité (Critère d'intégrabilité). Soit $\varepsilon > 0$ et des fonctions en escalier $\varphi_1 \leqslant f \leqslant \psi_1$, $\varphi_2 \leqslant g \leqslant \psi_2$ avec $\int (\psi_1 - \varphi_1) < \varepsilon$ et $\int (\psi_2 - \varphi_2) < \varepsilon$.

(i) Pour $\lambda \geqslant 0$, les fonctions en escalier $\varphi_1 + \lambda\varphi_2 \leqslant f + \lambda g \leqslant \psi_1 + \lambda\psi_2$ ont des intégrales distantes de moins de $(1 + \lambda)\varepsilon$, ce qui prouve l'intégrabilité.

De plus, $\int (f + \lambda g)$ et $\int f + \lambda\int g$ appartiennent tous deux à l'intervalle $[\int \varphi_1 + \lambda\int\varphi_2,\ \int \psi_1 + \lambda\int\psi_2]$ (Propriétés (escalier), (i)), de longueur inférieure à $(1 + \lambda)\varepsilon$ : ils sont égaux.

Pour $\lambda < 0$, il suffit de traiter $-g$, encadrée par $-\psi_2 \leqslant -g \leqslant -\varphi_2$, avec $\int (-g) = -\int g$ par le même argument.

(ii) Si $f \leqslant g$, toute fonction en escalier $\varphi \leqslant f$ vérifie $\varphi \leqslant g$, donc $I^-(f) \leqslant I^-(g)$.

(iii) Si $f$ est intégrable sur $[a, b]$, les restrictions de $\varphi_1$ et $\psi_1$ à $[a, c]$ sont en escalier et encadrent $f$ ; par Chasles pour les fonctions en escalier et la positivité de $\int_c^b (\psi_1 - \varphi_1)$, on a $$\int_a^c (\psi_1 - \varphi_1) \leqslant \int_a^b (\psi_1 - \varphi_1) < \varepsilon.$$ De même sur $[c, b]$.

Réciproquement, si $f$ est intégrable sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$, encadrée par $\varphi' \leqslant f \leqslant \psi'$ sur le premier et $\varphi'' \leqslant f \leqslant \psi''$ sur le second, la fonction égale à $\varphi'$ sur $[a, c[$ et à $\varphi''$ sur $[c, b]$ est en escalier, minore $f$, et de même pour les majorantes.

Par Chasles pour les fonctions en escalier, la valeur en $c$ ne comptant pas, l'écart de leurs intégrales est inférieur à $2\varepsilon$.

Dans les deux cas, $\int_a^b f$ et $\int_a^c f + \int_c^b f$ appartiennent à un même intervalle de longueur inférieure à $2\varepsilon$, borné par les intégrales des fonctions en escalier ; ils sont égaux. Un segment $[c, d] \subset [a, b]$ s'obtient en coupant deux fois.

(iv) Quitte à remplacer $\varphi_1$ par $\max(\varphi_1, -M)$ et $\psi_1$ par $\min(\psi_1, M)$, qui sont en escalier, encadrent encore $f$ et sont plus proches, on peut supposer que $\varphi_1$ et $\psi_1$ prennent leurs valeurs dans $[-M, M]$.

Sur chaque intervalle ouvert $]x_i, x_{i+1}[$ d'une subdivision adaptée commune, $\varphi_1 = c_i$, $\psi_1 = d_i$, et $f(x) \in [c_i, d_i]$, d'où $|h(f(x)) - h(c_i)| \leqslant K(f(x) - c_i)$, puis $$|h(f(x)) - h(c_i)| \leqslant K(d_i - c_i).$$

Les fonctions égales à $h(c_i) \mp K(d_i - c_i)$ sur $]x_i, x_{i+1}[$ et à $h(f(x_i))$ aux points $x_i$ sont en escalier, encadrent $h \circ f$, qui est bornée puisque $|h(y)| \leqslant |h(0)| + KM$ sur $[-M, M]$, et l'écart de leurs intégrales vaut $2K\int (\psi_1 - \varphi_1) < 2K\varepsilon$. Ainsi $h \circ f$ est intégrable.

La valeur absolue est $1$-lipschitzienne, et $y \mapsto y^2$ est $2M$-lipschitzienne sur $[-M, M]$ puisque $|y^2 - z^2| = |y + z|\,|y - z|$. Donc $|f|$ est intégrable, ainsi que $(f + g)^2$ et $(f - g)^2$, dont la différence divisée par $4$ est $fg$ ; on conclut par (i).

Enfin $-|f| \leqslant f \leqslant |f|$ et (ii) donnent $-\int |f| \leqslant \int f \leqslant \int |f|$.

(v) Si deux des points $u, v, w$ sont égaux, la relation se lit sur les conventions. Sinon, l'un d'eux est entre les deux autres ; la relation (iii), écrite pour ces trois points rangés dans l'ordre croissant, donne une égalité entre trois intégrales, et chacune des six dispositions possibles s'y ramène en faisant passer un terme de l'autre côté et en changeant le sens des intégrales par la convention. L'inégalité vient de (iv), appliquée sur le segment d'extrémités $u$ et $v$.