Théorème 3Intégrale de Riemann

Intégrabilité des fonctions monotones

Énoncé

Toute fonction monotone $f : [a, b] \to {\mathbb R}$ est intégrable au sens de Riemann. Plus précisément, si $f$ est croissante et si $x_k = a + kh$ , avec $h = \frac{b - a}{n}$ , est la subdivision régulière à $n$ pas, les fonctions en escalier $\varphi_n$ et $\psi_n$ égales respectivement à $f(x_k)$ et à $f(x_{k+1})$ sur $]x_k, x_{k+1}[$ , et à $f$ aux points $x_k$ , vérifient $\varphi_n \leqslant f \leqslant \psi_n,$ $\int_a^b (\psi_n - \varphi_n) = \frac{(b - a)\big(f(b) - f(a)\big)}{n}.$

Démonstration

Supposons $f$ croissante ; elle est bornée, puisque $f(a) \leqslant f \leqslant f(b)$ . Pour $x \in \,]x_k, x_{k+1}[$ , la croissance donne $f(x_k) \leqslant f(x) \leqslant f(x_{k+1})$ , c'est-à-dire $\varphi_n(x) \leqslant f(x) \leqslant \psi_n(x)$ , et l'encadrement est une égalité aux points $x_k$ . Par définition de l'intégrale d'une fonction en escalier, $\begin{aligned} \int_a^b (\psi_n - \varphi_n) &= \sum_{k=0}^{n-1} \big(f(x_{k+1}) - f(x_k)\big)h \\ &= h\big(f(b) - f(a)\big), \end{aligned}$ la somme étant télescopique.

Pour $\varepsilon > 0$ , la propriété d'Archimède fournit $n$ tel que ce nombre soit inférieur à $\varepsilon$ , et le critère d'intégrabilité (Critère d'intégrabilité) conclut. Si $f$ est décroissante, $-f$ est croissante, donc intégrable, et $f$ aussi par linéarité.

Pour

f(x) = x^2

sur

[0, 1]

n = 5

, les rectangles rouges sont les écarts entre

\psi_n

, en vert, et

\varphi_n

, en bleu : le

k

-ième a pour base

h

et pour hauteur

f(x_{k+1}) - f(x_k)

. Glissés horizontalement, ils s'empilent sans trou ni chevauchement en une colonne de base

h

et de hauteur

f(b) - f(a)

: c'est le télescopage, et l'aire totale vaut

\frac15

□

Remarque

Pour $f(x) = x^2$ sur $[0, 1]$ , la formule $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , qui se démontre par récurrence, donne $\int_0^1 \varphi_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2},$ $\int_0^1 \psi_n = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},$ dont la différence est bien $\frac1n$ . Les deux tendent vers $\frac13$ , qui est donc $\int_0^1 x^2\,dx$ : l'aire sous la parabole occupe le tiers du carré unité. Pour $n = 10$ , l'encadrement est $0{,}285 \leqslant \frac13 \leqslant 0{,}385$ .

Remarque

Ce théorème ne se déduit pas de l'intégrabilité des fonctions continues : une fonction monotone peut avoir une infinité de discontinuités. Sur $[0, 1]$ , la fonction nulle en $0$ et égale à $\frac1m$ sur $]\frac1{m+1}, \frac1m]$ pour chaque entier $m \geqslant 1$ est croissante, discontinue en chaque point $\frac1m$ avec $m \geqslant 2$ , et néanmoins intégrable. Elle n'est pas non plus en escalier, puisqu'elle prend une infinité de valeurs.

Remarque

La démonstration ne demande que la monotonie, pas la continuité, et donne une estimation explicite de l'erreur, en $\frac1n$ . Elle est à l'origine de la comparaison entre une série et une intégrale (Sommation d'Abel, (iv)), où $\varphi_n$ et $\psi_n$ sont remplacées par les escaliers de pas $1$ construits sur les entiers.

Repose sur

Critère d'intégrabilité par encadrement

Sert à

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