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Proposition 3Intégrale de Riemann

Critère d'intégrabilité par encadrement

Énoncé

Une fonction bornée f:[a,b]→ℝf : [a, b] \to {\mathbb R} est intégrable au sens de Riemann si et seulement si, pour tout ε>0\varepsilon > 0, il existe des fonctions en escalier φ\varphi et ψ\psi telles que φ⩽f⩽ψet∫ab(ψ−φ)<ε.\varphi \leqslant f \leqslant \psi \qquad \text{et} \qquad \int_a^b (\psi - \varphi) < \varepsilon. On a alors ∫abφ⩽∫abf⩽∫abψ\int_a^b \varphi \leqslant \int_a^b f \leqslant \int_a^b \psi.

Démonstration

Supposons ff intégrable, d'intégrale II, et soit ε>0\varepsilon > 0. Le réel I−ε2I - \frac\varepsilon2 n'est pas un majorant des intégrales des fonctions en escalier φ⩽f\varphi \leqslant f : il en existe une telle que ∫abφ>I−ε2\int_a^b \varphi > I - \frac\varepsilon2.

De même, il existe ψ⩾f\psi \geqslant f en escalier avec ∫abψ<I+ε2\int_a^b \psi < I + \frac\varepsilon2. Par linéarité (Propriétés (escalier), (i)), ∫ab(ψ−φ)<ε\int_a^b (\psi - \varphi) < \varepsilon.

Réciproquement, si la condition est remplie, alors pour tout ε>0\varepsilon > 0, ∫abφ⩽I−(f)⩽I+(f)⩽∫abψ,\int_a^b \varphi \leqslant I^-(f) \leqslant I^+(f) \leqslant \int_a^b \psi, donc 0⩽I+(f)−I−(f)⩽∫ab(ψ−φ)<ε0 \leqslant I^+(f) - I^-(f) \leqslant \int_a^b (\psi - \varphi) < \varepsilon. Ceci valant pour tout ε>0\varepsilon > 0, I−(f)=I+(f)I^-(f) = I^+(f). L'encadrement final résulte de la définition de I−(f)I^-(f) et de I+(f)I^+(f) (Fonctions intégrables).

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Remarque

Pour f(x)=xf(x) = x sur [0,1][0, 1] et la subdivision régulière de pas 1n\frac1n, les fonctions en escalier φ\varphi et ψ\psi égales à kn\frac kn et à k+1n\frac{k+1}n sur ]kn,k+1n[]\frac kn, \frac{k+1}n[, et à ff aux points de la subdivision, encadrent ff, avec ∫01φ=n−12n,∫01ψ=n+12n,\int_0^1 \varphi = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \frac{n+1}{2n}, ∫01(ψ−φ)=1n.\int_0^1 (\psi - \varphi) = \frac1n. La fonction est donc intégrable, et son intégrale, coincée entre 12−12n\frac12 - \frac1{2n} et 12+12n\frac12 + \frac1{2n} pour tout nn, vaut 12\frac12 : c'est l'aire du triangle sous la diagonale.

Remarque

Ce critère ne fait intervenir aucune forme de l'axiome du choix : pour chaque ε\varepsilon, il affirme l'existence d'un seul couple (φ,ψ)(\varphi, \psi), et toutes les démonstrations qui suivent n'en utilisent qu'un nombre fini à la fois. C'est le critère qu'on emploie en pratique, l'égalité I−=I+I^- = I^+ servant surtout de définition.

Repose sur

Fonctions intégrables au sens de Riemann

Sert à

Propriétés de l'intégrale de RiemannIntégrabilité des fonctions continuesIntégrabilité des fonctions monotones
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