Théorème 2Intégrale de Riemann

Intégrabilité des fonctions continues

Énoncé

(i) Toute fonction uniformément continue sur un segment $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann.

(ii) Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann.

Démonstration

(i) Soit $f$ uniformément continue sur $[a,b]$ et $\varepsilon > 0$ : il existe $\delta > 0$ tel que $|x - y| < \delta$ entraîne $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ .

Soit une subdivision $(x_i)$ de pas inférieur à $\delta$ , et posons, sur chaque $[x_i, x_{i+1}[$ , $\varphi = f(x_i) - \varepsilon, \qquad \psi = f(x_i) + \varepsilon,$ en prolongeant en $b$ par $f(b)$ .

Pour $x \in [x_i, x_{i+1}[$ , on a $|x - x_i| < \delta$ , donc $\varphi(x) \leqslant f(x) \leqslant \psi(x)$ . Ce sont des fonctions en escalier, et $\int (\psi - \varphi) = 2\varepsilon(b - a)$ , qui est arbitrairement petit. En particulier $f$ , encadrée par deux fonctions en escalier, qui sont bornées (Fonctions en escalier, (iii)), est bornée, ce que demande le critère d'intégrabilité.

Pour

f(x) = 1 + x - \frac{x^3}{3}

sur

[0, 2]

, avec seize pas et

\varepsilon = 0{,}4

, l'escalier

\varphi

, en bleu, reste sous le graphe de

f

et l'escalier

\psi

, en vert, au-dessus : sur chaque pas,

f

s'écarte d'au plus

0{,}344

de sa valeur au point gauche

x_i

. La bande grisée entre les deux escaliers a une hauteur constante

2\varepsilon

, donc une aire

2\varepsilon(b - a)

Deux précisions achèvent la démonstration. Une subdivision de pas inférieur à $\delta$ existe (Subdivisions, (iii)). Pour conclure, étant donné $\varepsilon' > 0$ , on fait la construction avec $\varepsilon = \frac{\varepsilon'}{3(b - a)}$ : alors $\int (\psi - \varphi) = \frac{2\varepsilon'}{3} < \varepsilon'$ , et le critère d'intégrabilité (Critère d'intégrabilité) montre que $f$ est intégrable.

(ii) Une fonction continue sur $[a,b]$ y est uniformément continue par le théorème de Heine (Théorème de Heine) ; on applique (i).

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Remarque

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ quelconque, elle est continue, donc intégrable, sur tout segment contenu dans $I$ , et l'intégrale orientée $\int_u^v f$ a un sens pour tous $u, v \in I$ . C'est le cadre du théorème fondamental de l'analyse.

Remarque

Avec la relation de Chasles, le théorème s'étend aux fonctions continues par morceaux, c'est-à-dire continues sur chaque intervalle ouvert d'une subdivision et prolongeables par continuité aux extrémités : sur chaque segment de la subdivision, la fonction coïncide avec une fonction continue sauf peut-être aux deux extrémités, et la modifier en un nombre fini de points ne change ni l'intégrabilité ni l'intégrale, la différence étant une fonction en escalier d'intégrale nulle. Ce cas sert au nœud Sommation d'Abel.

Remarque

Aucun choix n'intervient ici. Le théorème de Heine est démontré au chapitre Continuité par un argument de borne supérieure, sans choix ; la démonstration séquentielle usuelle, rappelée en remarque au nœud Théorème de Heine, utiliserait le choix dénombrable. Le présent nœud n'en fait pas davantage : la subdivision et les escaliers y sont explicites.

Repose sur

Critère d'intégrabilité par encadrement Continuité

Sert à

Inégalité et formule de la moyenne