Inégalité et formule de la moyenne

(i) Les constantes $m$ et $M$ sont des fonctions en escalier d'intégrales $m(b - a)$ et $M(b - a)$ ; on applique la croissance (Propriétés de l'intégrale, (ii)). Pour la seconde inégalité, on applique la première à $|f| \leqslant \sup|f|$ sur le segment d'extrémités $u$ et $v$, puis l'inégalité $\big|\int_u^v f\big| \leqslant \big|\int_u^v |f|\,\big|$ de Propriétés de l'intégrale, (v).

(ii) La fonction $f$ est intégrable (Fonctions continues, (ii)), et l'image du segment $[a, b]$ est un segment $[m, M]$, où $m$ et $M$ sont le minimum et le maximum de $f$ (Image d'un segment). Par (i), le réel $\frac1{b - a}\int_a^b f$ appartient à $[m, M] = f([a, b])$ : c'est une valeur $f(c)$.

(iii) Supposons qu'il existe $x_0 \in [a, b]$ avec $f(x_0) > 0$. Par continuité en $x_0$, avec $\varepsilon = \frac{f(x_0)}2$, il existe $\delta > 0$ tel que $f \geqslant \frac{f(x_0)}2$ sur $[a, b] \cap [x_0 - \delta, x_0 + \delta]$, qui contient un segment $[u, v]$ avec $u < v$, puisque $a < b$. Par Chasles et la positivité de $f$ sur $[a, u]$ et $[v, b]$, puis par (i), $$\int_a^b f \geqslant \int_u^v f \geqslant (v - u)\frac{f(x_0)}2 > 0.$$