Convergence des sommes de Riemann

(i) Soit $M > 0$ tel que $|f| \leqslant M$, et, par le critère d'intégrabilité (Critère d'intégrabilité), des fonctions en escalier $\varphi \leqslant f \leqslant \psi$ avec $\int_a^b (\psi - \varphi) < \frac\varepsilon2$, adaptées à une même subdivision $\sigma_0 = (y_0 < \cdots < y_p)$. On pose $\delta = \frac{\varepsilon}{8M(p + 1)}$. Soit $\sigma = (x_i)$ de pas inférieur à $\delta$ et $\xi$ un pointage.

Disons que l'indice $i$ est mauvais si le segment $[x_i, x_{i+1}]$ contient un point de $\sigma_0$, et bon sinon. Un point $y_j$ appartient à au plus deux de ces segments : il y a au plus $2(p + 1)$ indices mauvais, et la somme des longueurs des segments correspondants est inférieure à $2(p + 1)\delta$.

Si $i$ est bon, $[x_i, x_{i+1}]$ ne contient ni $a$ ni $b$ ni aucun $y_j$ : il est contenu dans un intervalle ouvert $]y_j, y_{j+1}[$, sur lequel $\psi$ est constante, égale à $d$, de sorte que $$\begin{aligned} f(\xi_i)(x_{i+1} - x_i) &\leqslant d\,(x_{i+1} - x_i) \\ &= \int_{x_i}^{x_{i+1}} \psi. \end{aligned}$$ Si $i$ est mauvais, $f(\xi_i) \leqslant M$ et $\psi \geqslant f \geqslant -M$, d'où $$\begin{aligned} &f(\xi_i)(x_{i+1} - x_i) - \int_{x_i}^{x_{i+1}} \psi \\ &\quad \leqslant 2M(x_{i+1} - x_i). \end{aligned}$$

En sommant, par Chasles (Propriétés (escalier), (iii)), $$S(f, \sigma, \xi) - \int_a^b \psi \leqslant 4M(p + 1)\delta = \frac\varepsilon2.$$

Comme $$\int_a^b \psi - \int_a^b f \leqslant \int_a^b (\psi - \varphi) < \frac\varepsilon2,$$ on obtient $S(f, \sigma, \xi) - \int_a^b f < \varepsilon$. Le même raisonnement avec $\varphi$, ou appliqué à $-f$, donne $\int_a^b f - S(f, \sigma, \xi) < \varepsilon$.

(ii) Par Chasles et linéarité (Propriétés de l'intégrale), et puisque l'intégrale de la constante $f(\xi_i)$ sur $[x_i, x_{i+1}]$ vaut $f(\xi_i)(x_{i+1} - x_i)$, $$\begin{aligned} &\int_a^b f - S(f, \sigma, \xi) \\ &\quad = \sum_{i} \int_{x_i}^{x_{i+1}} \big(f - f(\xi_i)\big). \end{aligned}$$

Pour $t \in [x_i, x_{i+1}]$, on a $|t - \xi_i| \leqslant x_{i+1} - x_i < \delta$, donc $|f(t) - f(\xi_i)| < \varepsilon$, et l'inégalité de la moyenne (Inégalité de la moyenne, (i)) borne chaque terme par $\varepsilon(x_{i+1} - x_i)$. La somme est au plus $\varepsilon(b - a)$.

(iii) Les sommes écrites sont les sommes de Riemann de la subdivision régulière, de pas $\frac{b - a}{n}$, pointée par les extrémités gauches ou droites. Pour $\varepsilon > 0$ et $\delta$ donné par (i), elles sont à moins de $\varepsilon$ de l'intégrale dès que $\frac{b - a}{n} < \delta$, c'est-à-dire pour $n$ assez grand, par la propriété d'Archimède. C'est la définition de la limite d'une suite.

(iv) Soit $\varepsilon > 0$, $\delta$ associé, et $\sigma = (x_0 < \cdots < x_n)$ une subdivision de pas inférieur à $\delta$ (Subdivisions, (iii)), que l'on fixe.

Si $f$ n'était pas majorée sur un segment $[x_i, x_{i+1}]$, on pourrait, les autres points $\xi_j$ étant fixés, rendre $S(f, \sigma, \xi)$ plus grande que $I + \varepsilon$ en déplaçant le seul point $\xi_i$ : $f$ est donc majorée, et de même minorée, sur chacun de ces segments, donc bornée.

Soit $M_i$ la borne supérieure de $f$ sur $[x_i, x_{i+1}]$, et $\psi$ la fonction en escalier égale à $M_i$ sur $]x_i, x_{i+1}[$ et à $f$ aux points $x_i$ ; elle majore $f$.

Pour $\eta > 0$, il existe des points $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$, en nombre fini, tels que $f(\xi_i) > M_i - \eta$, et alors, puisque $S(f, \sigma, \xi) < I + \varepsilon$, $$\int_a^b \psi < I + \varepsilon + \eta(b - a).$$ Ceci valant pour tout $\eta > 0$, on a $\int_a^b \psi \leqslant I + \varepsilon$.

De même, avec les bornes inférieures, on obtient $\varphi \leqslant f$ en escalier avec $\int_a^b \varphi \geqslant I - \varepsilon$.

Ainsi $$I - \varepsilon \leqslant \int_a^b \varphi \leqslant \int_a^b \psi \leqslant I + \varepsilon,$$ donc $\int_a^b (\psi - \varphi) \leqslant 2\varepsilon$ : par le critère d'intégrabilité, $f$ est intégrable, et son intégrale, comprise entre $\int_a^b \varphi$ et $\int_a^b \psi$, est à distance au plus $\varepsilon$ de $I$ pour tout $\varepsilon > 0$ : elle est égale à $I$.