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Définition 1Intégrale de Riemann

Subdivisions d'un segment

Énoncé

Soit a<ba < b deux réels. Une subdivision du segment [a,b][a, b] est une partie finie σ\sigma de [a,b][a, b] qui contient aa et bb. On numérote ses éléments dans l'ordre croissant, a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b, et l'on appelle pas de σ\sigma le réel max⁡0⩽i<n(xi+1−xi)\max_{0 \leqslant i < n} (x_{i+1} - x_i). Une subdivision σ′\sigma' est plus fine que σ\sigma si σ⊂σ′\sigma \subset \sigma'.

Proposition. (i) Pour deux subdivisions σ\sigma et σ′\sigma' de [a,b][a, b], la réunion σ∪σ′\sigma \cup \sigma' est une subdivision plus fine que chacune d'elles, et c'est la moins fine de ces subdivisions : on l'appelle leur raffinement commun.

(ii) Si σ′\sigma' est plus fine que σ\sigma, chaque intervalle [yj,yj+1][y_j, y_{j+1}] formé de deux points consécutifs de σ′\sigma' est contenu dans un intervalle [xi,xi+1][x_i, x_{i+1}] formé de deux points consécutifs de σ\sigma ; en particulier, le pas de σ′\sigma' est inférieur ou égal à celui de σ\sigma.

(iii) Pour tout δ>0\delta > 0, il existe une subdivision de pas strictement inférieur à δ\delta.

Démonstration

La numérotation dans l'ordre croissant ne demande aucun choix : x0x_0 est le plus petit élément de σ\sigma, x1x_1 le plus petit élément de σ∖{x0}\sigma \setminus \{x_0\}, et ainsi de suite, une partie finie non vide d'un ensemble totalement ordonné ayant un plus petit élément.

(i) La réunion de deux parties finies de [a,b][a, b] contenant aa et bb en est encore une, et elle contient σ\sigma et σ′\sigma'. Toute subdivision plus fine que σ\sigma et que σ′\sigma' contient σ∪σ′\sigma \cup \sigma', c'est-à-dire est plus fine qu'elle.

(ii) Soit yj<yj+1y_j < y_{j+1} deux points consécutifs de σ′\sigma', et xix_i le plus grand élément de σ\sigma inférieur ou égal à yjy_j ; il existe, puisque a=x0⩽yja = x_0 \leqslant y_j, et i<ni < n, puisque yj<by_j < b. Alors xi+1>yjx_{i+1} > y_j.

Aucun point de σ\sigma n'est strictement compris entre yjy_j et yj+1y_{j+1}, puisque σ⊂σ′\sigma \subset \sigma' et que ces deux points sont consécutifs dans σ′\sigma' ; donc xi+1⩾yj+1x_{i+1} \geqslant y_{j+1}, et [yj,yj+1]⊂[xi,xi+1][y_j, y_{j+1}] \subset [x_i, x_{i+1}].

Les longueurs se comparent en conséquence, et le pas de σ′\sigma' est au plus celui de σ\sigma.

(iii) Par la propriété d'Archimède (Archimède, densité de ℚ), il existe un entier n⩾1n \geqslant 1 tel que nδ>b−an\delta > b - a. La subdivision régulière xk=a+kb−anx_k = a + k\frac{b - a}{n}, pour 0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n, a pour pas b−an<δ\frac{b - a}{n} < \delta.

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Remarque

Les subdivisions σ={0,12,1}\sigma = \{0, \frac12, 1\} et σ′={0,13,1}\sigma' = \{0, \frac13, 1\} de [0,1][0, 1] ont pour pas 12\frac12 et 23\frac23 ; leur raffinement commun {0,13,12,1}\{0, \frac13, \frac12, 1\} a pour pas 12\frac12. Le pas d'un raffinement commun est au plus le plus petit des deux pas, mais il peut lui être égal : raffiner ne fait pas nécessairement diminuer le pas.

0 1/2 1 σ pas 1/2 0 1/3 1 σ′ pas 2/3 0 1/3 1/2 1 σ ∪ σ′ pas 1/2
Les points de σ\sigma, en bleu, et ceux de σ′\sigma', en vert, se reportent sur leur raffinement commun σ∪σ′\sigma \cup \sigma', en rouge, dont chaque intervalle est contenu dans un intervalle de chacune des deux. Le trait épais marque sur chaque ligne un intervalle de longueur maximale : le pas du raffinement, 12\frac12, est égal à celui de σ\sigma.
Remarque

Le raffinement commun est l'outil de tout le chapitre. Chaque fois que deux fonctions en escalier, ou une fonction en escalier et une somme de Riemann, se rapportent à deux subdivisions différentes, on se ramène à une seule en passant à leur réunion.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Fonctions en escalier
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