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Définition 2Intégrale de Riemann

Fonctions en escalier

Énoncé

Une fonction φ:[a,b]→ℝ\varphi : [a, b] \to {\mathbb R} est une fonction en escalier s'il existe une subdivision σ=(x0<⋯<xn)\sigma = (x_0 < \cdots < x_n) de [a,b][a, b] et des réels c0,…,cn−1c_0, \dots, c_{n-1} tels que φ\varphi soit constante, égale à cic_i, sur chaque intervalle ouvert ]xi,xi+1[]x_i, x_{i+1}[.

On dit alors que σ\sigma est adaptée à φ\varphi. Les valeurs φ(xi)\varphi(x_i) aux points de la subdivision sont quelconques.

x a x1 x2 x3 x4 b c1 c3 φ(x4) φ
Sur chaque intervalle ouvert ]xi,xi+1[]x_i, x_{i+1}[, la fonction φ\varphi est constante, égale à cic_i, ce que marquent les extrémités creuses. Ses valeurs aux points xix_i, en rouge, sont quelconques : en x2x_2, la valeur prolonge le palier c1c_1, mais aux autres points elle ne prolonge aucun des deux paliers voisins.

Proposition. (i) Toute subdivision plus fine qu'une subdivision adaptée à φ\varphi est adaptée à φ\varphi.

(ii) Deux fonctions en escalier φ\varphi et ψ\psi admettent une subdivision adaptée commune.

(iii) Si φ\varphi et ψ\psi sont en escalier et h:ℝ2→ℝh : \mathbb R^2 \to \mathbb R est une application quelconque, la fonction x↦h(φ(x),ψ(x))x \mapsto h(\varphi(x), \psi(x)) est en escalier. En particulier φ+ψ\varphi + \psi, λφ\lambda\varphi pour λ∈ℝ\lambda \in \mathbb R, φψ\varphi\psi, ∣φ∣|\varphi|, max⁡(φ,ψ)\max(\varphi, \psi) et min⁡(φ,ψ)\min(\varphi, \psi) sont en escalier, et toute fonction en escalier est bornée.

Démonstration

(i) Si σ⊂σ′\sigma \subset \sigma' et si σ\sigma est adaptée à φ\varphi, chaque intervalle ouvert ]yj,yj+1[]y_j, y_{j+1}[ de σ′\sigma' est contenu dans un intervalle ouvert ]xi,xi+1[]x_i, x_{i+1}[ de σ\sigma (Subdivisions, (ii)), sur lequel φ\varphi est constante ; elle l'est donc sur ]yj,yj+1[]y_j, y_{j+1}[.

(ii) Si σ\sigma est adaptée à φ\varphi et σ′\sigma' à ψ\psi, leur raffinement commun σ∪σ′\sigma \cup \sigma' est adapté aux deux, par (i).

(iii) Sur chaque intervalle ouvert d'une subdivision adaptée commune, φ\varphi et ψ\psi sont constantes, donc h(φ,ψ)h(\varphi, \psi) aussi. Une fonction en escalier ne prend qu'un nombre fini de valeurs, les cic_i et les φ(xi)\varphi(x_i) : elle est bornée.

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Remarque

La fonction φ\varphi égale à 22 sur [0,1[[0, 1[ et à −1-1 sur [1,3][1, 3] est en escalier sur [0,3][0, 3], de subdivision adaptée {0,1,3}\{0, 1, 3\} ; la subdivision {0,12,1,2,3}\{0, \frac12, 1, 2, 3\} lui est aussi adaptée. Une fonction en escalier a donc une infinité de subdivisions adaptées : c'est pourquoi la définition de son intégrale, au nœud suivant, demande une vérification.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une fonction ne prenant qu'un nombre fini de valeurs est en escalier. L'indicatrice de ℚ∩[0,1]{\mathbb Q} \cap [0, 1] ne prend que les valeurs 00 et 11, mais elle n'est constante sur aucun intervalle ouvert non vide, puisque tout tel intervalle contient un rationnel et un irrationnel.

Repose sur

Subdivisions d'un segment

Sert à

Intégrale d'une fonction en escalier
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