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Proposition 1Intégrale de Riemann

Intégrale d'une fonction en escalier

Énoncé

Soit φ\varphi une fonction en escalier sur [a,b][a, b] et σ=(x0<⋯<xn)\sigma = (x_0 < \cdots < x_n) une subdivision adaptée, φ\varphi valant cic_i sur ]xi,xi+1[]x_i, x_{i+1}[. Le réel I(φ,σ)=∑i=0n−1ci (xi+1−xi)I(\varphi, \sigma) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i\,(x_{i+1} - x_i) ne dépend pas de la subdivision adaptée σ\sigma. On l'appelle intégrale de φ\varphi sur [a,b][a, b] et on le note ∫abφ\int_a^b \varphi, ou ∫abφ(t) dt\int_a^b \varphi(t)\,dt.

Démonstration

Ajout d'un point. Soit y∈ ]xi,xi+1[y \in \,]x_i, x_{i+1}[ un point qui n'est pas dans σ\sigma. La subdivision σ∪{y}\sigma \cup \{y\} est adaptée à φ\varphi (Fonctions en escalier, (i)), qui vaut cic_i sur ]xi,y[]x_i, y[ et sur ]y,xi+1[]y, x_{i+1}[, et dans I(φ,σ∪{y})I(\varphi, \sigma \cup \{y\}) le terme ci(xi+1−xi)c_i(x_{i+1} - x_i) est remplacé par ci(y−xi)+ci(xi+1−y)=ci(xi+1−xi).c_i(y - x_i) + c_i(x_{i+1} - y) = c_i(x_{i+1} - x_i). Les deux sommes sont donc égales.

Subdivision plus fine. Si σ⊂σ′\sigma \subset \sigma', on passe de σ\sigma à σ′\sigma' en ajoutant un à un les points de σ′∖σ\sigma' \setminus \sigma, par exemple dans l'ordre croissant ; une récurrence sur le nombre de points ajoutés donne I(φ,σ′)=I(φ,σ)I(\varphi, \sigma') = I(\varphi, \sigma).

Cas général. Si σ1\sigma_1 et σ2\sigma_2 sont deux subdivisions adaptées, leur raffinement commun σ1∪σ2\sigma_1 \cup \sigma_2 est plus fin que chacune (Subdivisions, (i)), et I(φ,σ1)=I(φ,σ1∪σ2)=I(φ,σ2).I(\varphi, \sigma_1) = I(\varphi, \sigma_1 \cup \sigma_2) = I(\varphi, \sigma_2).

□
Remarque

Pour la fonction égale à 22 sur [0,1[[0, 1[ et à −1-1 sur [1,3][1, 3], la subdivision {0,1,3}\{0, 1, 3\} donne 2⋅1+(−1)⋅2=02 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 0, et la subdivision {0,12,1,2,3}\{0, \frac12, 1, 2, 3\} donne 2⋅12+2⋅12+(−1)⋅1+(−1)⋅1=0,2 \cdot \frac12 + 2 \cdot \frac12 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 0, comme le veut la proposition.

L'intégrale est une aire algébrique : elle peut être nulle sans que la fonction le soit, les parties situées sous l'axe comptant négativement.

x +1 +1 −1 −1 0 1/2 1 2 3 2 −1 φ
La fonction égale à 22 sur [0,1[[0, 1[ et à −1-1 sur [1,3][1, 3] délimite un rectangle d'aire 22 au-dessus de l'axe, en bleu, et un rectangle d'aire 22 au-dessous, en rouge, compté négativement : l'intégrale vaut 2−2=02 - 2 = 0. Les pointillés de la subdivision plus fine {0,12,1,2,3}\{0, \frac12, 1, 2, 3\} coupent chaque rectangle en deux sans changer la somme, 1+1−1−1=01 + 1 - 1 - 1 = 0.
Remarque

Les valeurs aux points de la subdivision n'interviennent pas. Deux fonctions en escalier qui ne diffèrent qu'en un nombre fini de points ont donc la même intégrale, puisqu'on peut ajouter ces points à une subdivision adaptée commune.

Repose sur

Fonctions en escalier

Sert à

Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier
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