Intégrale sur le bord d'un carré et invariance par homotopie

(i) Les images réciproques par $H$ des boules contenues dans $U$ recouvrent le compact $[0, 1]^2$ ; par le lemme de Lebesgue, appliqué pour la distance $d_\infty$ (Nombre de Lebesgue), il existe $N$ tel que chacun des carrés $$Q_{jk} = [\frac{j-1}N, \frac jN] \times [\frac{k-1}N, \frac kN]$$ soit envoyé par $H$ dans une boule $B_{jk}$, de primitive $f_{jk}$.

Pour un segment horizontal ou vertical $e$ de la grille, notons $\int_e$ l'intégrale de $\omega$ le long du chemin $H$ restreint à $e$, parcouru dans le sens des coordonnées croissantes.

Pour un petit carré $Q_{jk}$, de coins $c_0, c_1, c_2, c_3$ dans l'ordre direct à partir du coin inférieur gauche, chaque côté est dans $Q_{jk}$, donc envoyé dans $B_{jk}$, et son intégrale est la différence des valeurs de $f_{jk} \circ H$ à ses extrémités (Intégrale le long d'un chemin continu, (i), avec une subdivision réduite à un seul morceau). La somme alternée sur le bord de $Q_{jk}$ vaut donc $$\begin{aligned} &\big(f(c_1) - f(c_0)\big) + \big(f(c_2) - f(c_1)\big) \\ &\quad - \big(f(c_2) - f(c_3)\big) \\ &\quad - \big(f(c_3) - f(c_0)\big) = 0, \end{aligned}$$ où $f = f_{jk} \circ H$.

En sommant sur les $N^2$ petits carrés, chaque segment intérieur de la grille apparaît deux fois, avec des signes opposés, comme côté droit de l'un et côté gauche du suivant, ou comme côté supérieur et côté inférieur ; son intégrale ne dépend pas du carré qui la calcule (Intégrale le long d'un chemin continu, (i)). Il reste les segments du bord, qui reconstituent, par la relation de Chasles (même nœud, (iii)), $$\int_\beta \omega + \int_\rho \omega - \int_\theta \omega - \int_\lambda \omega,$$ qui est donc nul.

(ii) Soit $H$ une homotopie à extrémités fixes, $H(s, 0) = \gamma(s)$, $H(s, 1) = \delta(s)$, $H(0, t) = x$ et $H(1, t) = y$. Les côtés $\rho$ et $\lambda$ sont constants, d'intégrale nulle, et (i) donne $\int_\gamma \omega = \int_\delta \omega$.