Lemme 1Cohomologie de de Rham

Primitives locales d'une forme fermée

Dans tout ce graphe, $U$ est un ouvert de ${\mathbb R^n}$ et $\omega$ une forme différentielle fermée de degré $1$ sur $U$ (Intégrale d'une 1-forme). Une boule est une boule ouverte pour la norme $\|\cdot\|_\infty$ ; c'est un ouvert convexe. Une primitive de $\omega$ sur un ouvert $V \subset U$ est une fonction $f$ de classe $C^\infty$ sur $V$ telle que $df = \omega$ sur $V$ .

Énoncé

(i) Sur toute boule $B \subset U$ , $\omega$ a une primitive.

(ii) Deux primitives de $\omega$ sur un ouvert connexe diffèrent d'une constante. En particulier, si $B$ et $B'$ sont deux boules contenues dans $U$ , de primitives $f$ et $f'$ , la différence $f - f'$ est constante sur $B \cap B'$ .

Démonstration

(i) Soit $B$ la boule de centre $a$ , et $\omega = \sum_i a_i\,dx_i$ . La boule $B - a$ est étoilée par rapport à $0$ , et la forme $\omega' = \sum_i a_i(y + a)\,dy_i$ y est fermée, puisque ses coefficients sont ceux de $\omega$ translatés, et que $d\omega'$ s'écrit avec les dérivées partielles $\partial_j a_i(y + a) - \partial_i a_j(y + a)$ , toutes nulles.

Par le lemme de Poincaré (Lemme de Poincaré), $\omega' = dg$ sur $B - a$ . La fonction $f(x) = g(x - a)$ vérifie $\partial_i f(x) = \partial_i g(x - a) = a_i(x)$ : c'est une primitive de $\omega$ sur $B$ .

(ii) Si $f$ et $f'$ sont deux primitives sur un ouvert connexe $V$ , alors $d(f - f') = 0$ sur $V$ , et $f - f'$ est constante (Accroissements finis, (iii)). L'intersection $B \cap B'$ , convexe, est connexe, ou vide.

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Remarque

L'hypothèse de connexité de (ii) ne peut pas être levée : sur la réunion de deux boules disjointes, la fonction qui vaut $0$ sur l'une et $1$ sur l'autre a une différentielle nulle. C'est cette liberté, une constante par morceau, qui rendra nécessaire la vérification que l'intégrale ne dépend pas des primitives choisies.

Repose sur

Géométrie différentielle

Sert à

Intégrale d'une forme fermée le long d'un chemin continu Un recouvrement localement fini de l'ouvert par des cubes