Lemme de Poincaré

Pour une fonction $a$ et un degré $k \geqslant 1$, posons $c_a(x) = \int_0^1 t^{k-1} a(tx)\,dt$. Définissons l'opérateur $K$, qui abaisse le degré d'une unité, par $$\begin{aligned} &K(a\,dx_{j_0} \wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}) \\ &\quad = \sum_{r=0}^{k-1} (-1)^r\, c_a\, x_{j_r}\, dx_{J \setminus j_r}, \end{aligned}$$ où $dx_{J \setminus j_r}$ est le produit des $dx_{j_s}$, $s \neq r$, dans l'ordre.

La formule est alternée en la suite $(j_0, \dots, j_{k-1})$, donc compatible avec les relations entre les $dx_J$, et définit $K$ par linéarité. Le résultat est $C^\infty$ par le nœud Schwarz, intégrales à paramètre, (ii).

Montrons $dK\omega + Kd\omega = \omega$ pour $\omega = a\,dx_I$, $I = (i_1, \dots, i_k)$, ce qui suffit : si $d\omega = 0$, alors $\omega = d(K\omega)$.

En dérivant sous l'intégrale, $dK\omega$ est la somme de deux termes. Le premier provient de la différentielle des coefficients : $$\begin{aligned} &\sum_{r} \sum_j (-1)^{r-1}\Big(\int_0^1 t^k\, \partial_j a(tx)\,dt\Big) \\ &\quad x_{i_r}\, dx_j \wedge dx_{I \setminus i_r}. \end{aligned}$$ Le second provient de la différentielle des $x_{i_r}$, et vaut $$\begin{aligned} &\sum_r (-1)^{r-1}\Big(\int_0^1 t^{k-1}a(tx)\,dt\Big)\, dx_{i_r} \\ &\qquad \wedge dx_{I \setminus i_r} \\ &\quad = k\Big(\int_0^1 t^{k-1}a(tx)\,dt\Big)\, dx_I, \end{aligned}$$ puisque ramener $dx_{i_r}$ à sa place coûte $(-1)^{r-1}$.

D'autre part $d\omega = \sum_j \partial_j a\, dx_j \wedge dx_I$, et $K$ appliqué à $dx_j \wedge dx_I$, suite $(j, i_1, \dots, i_k)$, donne le terme $\big(\int_0^1 t^k \partial_j a(tx)\,dt\big)\, x_j\, dx_I$ pour l'indice $j$, et, pour l'indice $i_r$, le terme $(-1)^r\big(\int_0^1 t^k \partial_j a(tx)\,dt\big)\, x_{i_r}\, dx_j \wedge dx_{I \setminus i_r}$, qui annule le premier terme de $dK\omega$.

Il reste $$\begin{aligned} &dK\omega + Kd\omega \\ &\quad = \Big(\int_0^1 \big(k\,t^{k-1}a(tx) \\ &\qquad\quad + t^k \textstyle\sum_j x_j\, \partial_j a(tx)\big)\,dt\Big)\, dx_I \\ &\quad = \Big(\int_0^1 \frac{d}{dt}\big(t^k a(tx)\big)\,dt\Big)\, dx_I, \end{aligned}$$ qui vaut $a(x)\,dx_I$ par le théorème fondamental.