Définition 3Géométrie différentielle

Cohomologie de de Rham

Pour un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ , notons $Z^k(U)$ l'espace des formes fermées de degré $k$ et $B^k(U)$ celui des formes exactes, avec $B^0(U) = \{0\}$ . Comme $d \circ d = 0$ , $B^k(U) \subset Z^k(U)$ , et la cohomologie de de Rham est l'espace quotient ${H^k}(U) = Z^k(U)/B^k(U)$ .

Énoncé

(i) $H^0(U)$ est l'espace des fonctions localement constantes ; si $U$ a $m$ composantes connexes, il est de dimension $m$ .

(ii) Si $U$ est étoilé par rapport à $0$ , $H^k(U) = \{0\}$ pour $k \geqslant 1$ , et, si $U$ est non vide, $H^0(U) \cong {\mathbb R}$ .

(iii) $H^1(\mathbb R^2 \setminus \{0\}) \neq \{0\}$ .

(iv) Une application $\varphi : V \to U$ de classe $C^\infty$ , où $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$ , induit des applications linéaires $\varphi^* : H^k(U) \to H^k(V)$ , avec $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$ . Deux ouverts difféomorphes ont des cohomologies isomorphes.

Démonstration

(i) $df = 0$ si et seulement si $f$ est constante sur chaque boule, donc sur chaque composante connexe (Accroissements finis, (iii)).

Chaque composante connexe $C$ de $U$ est ouverte : elle contient, avec chacun de ses points, une boule contenue dans $U$ , qui est connexe puisqu'elle est convexe. L'indicatrice de $C$ est donc localement constante. Si $U$ a $m$ composantes $C_1, \dots, C_m$ , les indicatrices $\mathbf 1_{C_j}$ sont linéairement indépendantes, puisque les $C_j$ sont non vides et disjointes, et toute fonction localement constante $f$ s'écrit $\sum_j f(c_j)\,\mathbf 1_{C_j}$ , avec $c_j \in C_j$ : elles forment une base, et $H^0(U)$ est de dimension $m$ .

(ii) Pour $k \geqslant 1$ , c'est le lemme de Poincaré (Lemme de Poincaré). Si $U$ est non vide, il contient $0 = 0 \cdot x$ pour un $x \in U$ , puisqu'il est étoilé par rapport à $0$ . Si $df = 0$ , la fonction $t \mapsto f(tx)$ a une dérivée nulle sur $[0, 1]$ , donc $f(x) = f(0)$ : les fonctions localement constantes sur $U$ sont constantes, et $H^0(U) \cong \mathbb R$ .

(iii) La forme $\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$ est fermée et n'est pas exacte (Intégrale d'une 1-forme, remarque) : sa classe n'est pas nulle.

(iv) $\varphi^*$ commute à $d$ (Formes différentielles, (iii)), donc envoie formes fermées sur formes fermées et formes exactes sur formes exactes. Si $\varphi$ est un difféomorphisme, $(\varphi^{-1})^*$ est l'application réciproque.

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Remarque

L'espace $H^1(\mathbb R^2 \setminus \{0\})$ est de dimension $1$ , engendré par la classe de $\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$ : une forme fermée est exacte si et seulement si son intégrale sur le bord du carré $[-1, 1]^2$ est nulle. La théorie Cohomologie de de Rham le démontre de deux façons : en comparant $H^1$ à l'homologie (De Rham en degré 1), et par la suite de Mayer-Vietoris des formes (ℝⁿ privé de l'origine), qui donne aussi $H^k(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ en tout degré ; le critère du bord du carré est, pour $n = 2$ , le point (iii) du nœud Forme angle solide. C'est la traduction différentielle de $\pi_1({S^1}) \cong {\mathbb Z}$ (Groupe fondamental du cercle), qui compte les tours.

Remarque

La cohomologie de de Rham est un invariant différentiel, défini avec des formes ; la même définition a un sens sur une variété, avec les formes du nœud Formes sur une variété, puisque $d \circ d = 0$ y vaut encore. Le théorème de de Rham (1931) affirme qu'elle coïncide, pour une variété, avec la cohomologie singulière à coefficients réels, invariant purement topologique ; il fait l'objet de la théorie Cohomologie de de Rham, qui le démontre pour les ouverts de $\mathbb R^n$ : en degré $1$ sous la forme $H^1(U) \cong \operatorname{Hom}(H_1(U), \mathbb R)$ , le dual de l'homologie tenant lieu de cohomologie singulière, puis en tout degré (De Rham en tout degré), avec les cochaînes singulières lisses ; il relie ainsi cette branche à l'homologie.

Repose sur

Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin Lemme de Poincaré

Sert à

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