La forme angle solide, fermée et non exacte

(i) Régularité. La fonction $u \mapsto \sqrt u$ est dérivable sur $]0, +\infty[$, de dérivée $\frac1{2\sqrt u}$ (Dérivée d'une réciproque) ; si elle est de classe $C^k$, sa dérivée, produit de constantes et de la composée de $u \mapsto 1/u$ avec elle, l'est aussi, et elle est de classe $C^{k+1}$. La fonction $|x|$, composée de la racine et d'un polynôme strictement positif sur $X_n$, est donc de classe $C^\infty$ et ne s'annule pas ; les $F_i$ aussi (Classe Cᵏ, (iii)).

Fermeture. Dans $d(F_i\,dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_n)$, seul le terme $\partial_iF_i\,dx_i \wedge \cdots$ subsiste, les autres contenant deux fois le même $dx_j$ ; ramener $dx_i$ à sa place coûte $i - 1$ transpositions (Algèbre extérieure, (ii)), d'où $$d\sigma_n = \Big(\sum_i \partial_iF_i\Big)\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n.$$ Or $\partial_i|x| = x_i/|x|$, d'où $\partial_iF_i = |x|^{-n} - n\,x_i^2\,|x|^{-n-2}$, et $$\sum_i \partial_iF_i = n\,|x|^{-n} - n\,|x|^2\,|x|^{-n-2} = 0.$$ Pour $n = 2$, $\sigma_2 = (x_1\,dx_2 - x_2\,dx_1)/|x|^2$.

(ii) Cycle. L'inclusion $X_n \to \mathbb R^n$ induit un morphisme $Q(X_n) \to Q(\mathbb R^n)$ qui commute au bord (Cubes singuliers, (iii)) ; il est injectif, puisque deux cubes distincts de $X_n$ restent distincts dans $\mathbb R^n$. Il envoie $z_n$ sur $\partial\alpha_K$, où $\alpha_K$, prolongé par l'application affine définie sur $\mathbb R^n$ tout entier, est un cube de $\mathbb R^n$. Donc $\partial z_n$ a pour image $\partial\partial\alpha_K = 0$ (Cubes singuliers, (ii)), et $\partial z_n = 0$.

Intégrale sur une face. Soit $s = 2\varepsilon - 1$ et $K' = [-1, 1]^{n-1}$. La face $c_{i,\varepsilon}$ envoie $t \in I^{n-1}$ sur le point de coordonnée $s$ en position $i$ et de coordonnées $2t_l - 1$ aux autres places, dans l'ordre. L'image réciproque de $dx_i$ est nulle, et celle de chaque autre $dx_l$ est $2\,dt_{l'}$, où $l'$ est le rang de $l$ parmi les indices autres que $i$. Seul le terme d'indice $i$ de $\sigma_n$ subsiste, et $$\begin{aligned} c_{i,\varepsilon}^*\sigma_n &= (-1)^{i-1}\,2^{n-1}\,(F_i \circ c_{i,\varepsilon}) \\ &\quad dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_{n-1}. \end{aligned}$$

Par le changement de variable affine du nœud Intégrales itérées, (iii), avec $v(K') = 2^{n-1}$, et en notant $\iota_{i,s}(y)$ le point obtenu en insérant $s$ en position $i$ dans $y \in K'$, $$\int_{c_{i,\varepsilon}} \sigma_n = (-1)^{i-1}\int_{K'} F_i \circ \iota_{i,s}.$$ Or $|\iota_{i,s}(y)|^2 = 1 + |y|^2$, et $F_i(\iota_{i,s}(y)) = s\,(1 + |y|^2)^{-n/2}$.

Somme. Le coefficient de cette face dans $z_n$ est $(-1)^{i+\varepsilon}$, et $(-1)^{i+\varepsilon}(-1)^{i-1}s = (-1)^{\varepsilon+1}(2\varepsilon - 1) = 1$ pour $\varepsilon = 0$ comme pour $\varepsilon = 1$. Chacune des $2n$ faces contribue donc pour $J_n = \int_{K'}(1 + |y|^2)^{-n/2}$.

Sur $K'$, $|y|^2 \leqslant n - 1$ et l'intégrande est minorée par $n^{-n/2} > 0$ ; par Intégrales itérées, (ii), $J_n \geqslant 2^{n-1}n^{-n/2} > 0$.

(iii) Si $\sigma_n = d\eta$, son intégrale sur le cycle $z_n$ serait nulle (Formes exactes et cycles, (i)), ce que (ii) interdit. La classe $[\sigma_n]$ n'est donc pas nulle, et elle engendre $H^{n-1}(X_n)$, qui est de dimension $1$ (ℝⁿ privé de l'origine, (ii)).

Pour $\omega$ fermée, il existe donc un réel $c$ tel que $\omega - c\,\sigma_n = d\eta$. Intégrons sur $z_n$ : le terme $\int_{z_n} d\eta$ est nul, d'où la valeur de $c$. Enfin $\omega$ est exacte si et seulement si $c = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $\int_{z_n} \omega = 0$.