Fonctions de classe Cᵏ

(i) Si $f$ est de classe $C^1$, $\partial_j f(x) = df(x)(e_j)$ est continue en $x$, comme composée de $df$ et de l'évaluation en $e_j$, qui est linéaire.

Réciproquement, il suffit de traiter le cas $p = 1$ (Différentielle, (ii)). Soit $a \in U$, $r > 0$ tel que $B_\infty(a, r) \subset U$, et $h$ tel que $\|h\|_\infty < r$. Posons $a^{(0)} = a$ et $a^{(j)} = a + h_1e_1 + \cdots + h_je_j$, points du cube $B_\infty(a, r)$.

La fonction $t \mapsto f(a^{(j-1)} + te_j)$ a pour dérivée $\partial_j f(a^{(j-1)} + te_j)$ ; l'égalité des accroissements finis (Accroissements finis, (i)) donne un point $c_j$ du segment $[a^{(j-1)}, a^{(j)}]$ tel que $$f(a^{(j)}) - f(a^{(j-1)}) = h_j\,\partial_j f(c_j),$$ ce qui vaut encore si $h_j = 0$.

En sommant, $$\begin{aligned} &\Big|f(a + h) - f(a) \\ &\quad - \sum_j h_j\,\partial_j f(a)\Big| \leqslant \|h\|_\infty\, \rho(h), \end{aligned}$$ où $$\begin{aligned} \rho(h) = \sum_j \sup\big\{&|\partial_j f(c) - \partial_j f(a)| : \\ &\|c - a\|_\infty \leqslant \|h\|_\infty\big\} \end{aligned}$$ majore $\sum_j \big|\partial_j f(c_j) - \partial_j f(a)\big|$, puisque $\|c_j - a\|_\infty \leqslant \|h\|_\infty$. Cette fonction $\rho$ est définie sans désigner de point $c_j$ pour chaque $h$, et elle tend vers $0$ avec $h$, par continuité des dérivées partielles en $a$. Donc $f$ est différentiable en $a$, et $df$ est continue puisque les coefficients de sa matrice le sont.

(ii) Une application linéaire a une différentielle constante, donc de classe $C^\infty$. Pour $B$ bilinéaire, $dB(x, y)$ dépend linéairement de $(x, y)$ (Différentielle, (iii)) : $dB$ est linéaire, donc $C^\infty$, et $B$ aussi. La matrice de $df$ a pour lignes celles des $df_i$, et $d(f + g) = df + dg$ ; on conclut par récurrence sur $k$.

(iii) Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb N$ l'énoncé : pour toutes $f : U \to V$ et $g : V \to \mathbb R^q$ de classe $C^k$, $g \circ f$ est de classe $C^k$. Pour $k = 0$, c'est la continuité d'une composée.

Supposons-le pour $k$, et soient $f, g$ de classe $C^{k+1}$. Par la règle de la chaîne, $$d(g \circ f)(x) = c\big(dg(f(x)),\, df(x)\big),$$ où $c(A, B) = AB$ est le produit matriciel, bilinéaire donc $C^\infty$.

Par hypothèse de récurrence, $dg \circ f$ est de classe $C^k$, puis $x \mapsto \big(dg(f(x)), df(x)\big)$ l'est par (ii), et sa composée avec $c$ aussi. Donc $d(g \circ f)$ est de classe $C^k$, et $g \circ f$ de classe $C^{k+1}$. Le cas $k = \infty$ s'en déduit.

Le produit de $f$ et $g$ réelles est la composée de $x \mapsto (f(x), g(x))$ et de la multiplication, bilinéaire ; les polynômes s'obtiennent à partir des projections, linéaires, par sommes et produits.