Théorie

Calcul différentiel

Il étudie les applications d'un ouvert de ${\mathbb R^n}$ dans $\mathbb R^p$ au voisinage de chaque point, en les approchant par des applications linéaires : une application différentiable est celle dont l'accroissement est, au premier ordre, une application linéaire, sa différentielle. Il repose sur l'analyse réelle, pour les fonctions d'une variable, sur les espaces normés de dimension finie, où toutes les normes sont équivalentes, et sur l'algèbre linéaire.

Ses résultats centraux sont les accroissements finis, le théorème d'inversion locale, obtenu par un point fixe, et ses conséquences sur les submersions. Ils ne font intervenir aucune variété : les équations différentielles s'en servent directement, et la géométrie différentielle les transporte sur les variétés par les cartes. La formule du changement de variables est démontrée au chapitre « Changement de variables » des équations différentielles, dans le cadre de la mesure ; sa version pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact, qui s'en passe, l'est au chapitre « Intégration sur les variétés et formule de Stokes » de la cohomologie de de Rham.

Au second ordre, la formule de Taylor-Young fait apparaître la forme hessienne, une forme quadratique. Le chapitre « Formes quadratiques » en fait la théorie, sur un corps où $2$ est inversible puis sur $\mathbb R$ : bases orthogonales, réduction de Gauss, loi d'inertie de Sylvester et signature, critère des mineurs. Il l'applique aux extrema locaux, que la signature de la hessienne détermine en un point critique non dégénéré.

Le chapitre « Extrema liés » réunit les deux branches : sur un ensemble de niveau d'une submersion, paramétré par la forme locale des submersions, un extremum de $f$ annule $df$ sur l'espace tangent, ce qui donne les multiplicateurs de Lagrange, et la hessienne du lagrangien restreinte à l'espace tangent décide au second ordre.