Inégalité des accroissements finis

(i) C'est le théorème Égalité des accroissements finis du chapitre Dérivabilité, rappelé ici parce que (ii) l'applique coordonnée par coordonnée.

(ii) Soient $x, y \in U$ et $i$ fixé. L'ensemble des $t$ tels que $x + t(y - x) \in U$ est un ouvert de $\mathbb R$ contenant $[0, 1]$, par convexité. Sur cet ouvert, $\varphi(t) = f_i\big(x + t(y - x)\big)$ est dérivable, de dérivée $df_i(x + t(y - x))(y - x)$, par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)).

Par (i), il existe $c$ tel que $f_i(y) - f_i(x) = df_i(z)(y - x)$, avec $z = x + c(y - x)$. Ce nombre est la $i$-ième coordonnée de $df(z)(y - x)$, donc $$\begin{aligned} |f_i(y) - f_i(x)| &\leqslant \|df(z)(y - x)\|_\infty \\ &\leqslant M\|y - x\|. \end{aligned}$$ On prend le maximum sur $i$.

(iii) Fixons $a \in U$ et $A = \{x \in U : f(x) = f(a)\}$, qui est non vide. $A$ est fermé dans $U$, comme image réciproque d'un singleton, fermé dans l'espace séparé $\mathbb R^p$, par l'application continue $f$.

Tout point $x$ de $U$ est le centre d'une boule $B(x, r) \subset U$, qui est convexe par l'inégalité triangulaire ; par (ii) avec $M = 0$, $f$ est constante sur cette boule. Donc $A$ et $U \setminus A$ sont ouverts, et la connexité de $U$ donne $A = U$.