Proposition 1Topologie de ℝ

Description des intervalles de ℝ

Énoncé

Soit $I \subset {\mathbb R}$ . On écrit $]a, +\infty[$ et $]{-\infty}, b[$ pour les demi-droites $]a, {\rightarrow}[$ et $]{\leftarrow}, b[$ du nœud Intervalles, et de même avec des crochets fermés ; le symbole $+\infty$ n'y désigne aucun réel.

Pour $n \geqslant 1$ , une partie $C$ de ${\mathbb R^n}$ est convexe si $(1 - t)a + tb \in C$ pour tous $a, b \in C$ et tout $t \in [0, 1]$ , les opérations étant faites coordonnée par coordonnée ; elle est étoilée par rapport à un point $a$ de $C$ si $(1 - t)a + tx \in C$ pour tous $x \in C$ et $t \in [0, 1]$ . Une partie convexe est donc étoilée par rapport à chacun de ses points.

(i) $I$ est un intervalle si et seulement s'il est convexe : pour tous $x, y \in I$ et tout $t \in [0, 1]$ , le réel $(1 - t)x + ty$ appartient à $I$ .

(ii) $I$ est un intervalle si et seulement s'il est de l'une des formes suivantes : $\varnothing$ ; $[a, b]$ avec $a \leqslant b$ ; $[a, b[$ , $]a, b]$ ou $]a, b[$ avec $a < b$ ; $[a, +\infty[$ , $]a, +\infty[$ , $]{-\infty}, b]$ , $]{-\infty}, b[$ ; $\mathbb R$ .

Démonstration

(i) Pour $x \leqslant y$ , les réels $(1 - t)x + ty = x + t(y - x)$ , avec $t \in [0, 1]$ , sont exactement les réels de $[x, y]$ : un tel réel est compris entre $x$ et $y$ , et inversement tout $z \in [x, y]$ s'obtient pour $t = \frac{z - x}{y - x}$ si $x < y$ , et pour $t = 0$ si $x = y$ .

Le cas $x > y$ s'y ramène en échangeant les rôles de $x$ et $y$ et en remplaçant $t$ par $1 - t$ . Les deux conditions disent donc la même chose.

(ii) Toutes ces parties sont des intervalles (Intervalles).

Réciproquement, soit $I$ un intervalle non vide. Si $I$ est majoré, soit $b = \sup I$ , qui existe par la propriété de la borne supérieure (Borne supérieure) ; si $I$ est minoré, soit $a = \inf I$ . Montrons que tout réel $z$ strictement compris entre $\inf I$ et $\sup I$ , ces bornes étant remplacées par $-\infty$ ou $+\infty$ lorsqu'elles n'existent pas, appartient à $I$ .

Si $I$ est majoré, $z < b$ et $z$ ne majore pas $I$ ; s'il ne l'est pas, $z$ ne le majore pas davantage. Dans les deux cas il existe $y \in I$ avec $y > z$ , et de même il existe $x \in I$ avec $x < z$ ; donc $z \in I$ , puisque $I$ est un intervalle.

Ainsi $I$ contient l'intervalle ouvert d'extrémités $\inf I$ et $\sup I$ , et il est contenu dans l'intervalle fermé correspondant, par définition des bornes. Il ne reste qu'à savoir si chaque borne finie appartient ou non à $I$ : on obtient l'une des formes de la liste, et $[a, a] = \{a\}$ si $a = b$ .

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Remarque

Le point (ii) repose sur la propriété de la borne supérieure, et il est faux dans ${\mathbb Q}$ . La partie $\{x \in \mathbb Q : x^2 < 2\}$ est un intervalle de $\mathbb Q$ , car $x < z < y$ entraîne $|z| \leqslant \max(|x|, |y|)$ , donc $z^2 < 2$ ; mais elle n'a de borne supérieure ni de borne inférieure dans $\mathbb Q$ , et elle n'est d'aucune des formes de la liste à extrémités rationnelles.

Remarque

La forme convexe (i) est celle qui se généralise : dans $\mathbb R^n$ , où il n'y a plus d'ordre total, ce sont les parties convexes qui prennent le relais des intervalles, par exemple comme espaces simplement connexes (Simple connexité).

Repose sur

ℝ, corps ordonné complet

Sert à

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