Proposition 4Topologie algébrique

Espaces simplement connexes

Un espace est simplement connexe s'il est connexe par arcs et si son groupe fondamental est réduit au neutre. Une partie $C$ de ${\mathbb R^n}$ , muni de la topologie produit, est convexe si $(1 - t)a + tb \in C$ pour tous $a, b \in C$ et $t \in I$ .

Énoncé

Toute partie convexe non vide de $\mathbb R^n$ est simplement connexe. C'est le cas de $\mathbb R^n$ lui-même, des intervalles de ${\mathbb R}$ , de $I$ et de $I \times I$ .

Démonstration

Deux points $a, b$ de $C$ sont reliés par le segment $s \mapsto (1 - s)a + sb$ , continu composante par composante (Chemins, point (ii), et Topologie produit).

Si $\gamma$ est un lacet en $x$ , l'application $H(s, t) = (1 - t)\gamma(s) + tx$ est continue, reste dans $C$ par convexité, et vérifie $H(s, 0) = \gamma(s)$ , $H(s, 1) = x$ , $H(0, t) = H(1, t) = x$ : $\gamma \simeq c_x$ , et la classe de $\gamma$ est le neutre de ${\pi_1}(C, x)$ (Groupe fondamental).

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Remarque

L'homotopie employée ressemble à celle du reparamétrage : on fait glisser chaque point du lacet en ligne droite vers $x$ . Elle n'est possible que si le segment reste dans l'espace, et c'est exactement ce qu'un trou empêche.

Repose sur

Le groupe fondamental

Sert à

Le groupe fondamental du cercle est ℤ