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Théorème 1Topologie algébrique

Le groupe fondamental

Énoncé

Soit x∈Xx \in X. L'ensemble π1(X,x){\pi_1}(X, x) des classes d'homotopie de lacets en xx, muni de [γ][δ]=[γ⋅δ][\gamma][\delta] = [\gamma \cdot \delta], est un groupe, le groupe fondamental de XX en xx. Son neutre est [cx][c_x], et l'inverse de [γ][\gamma] est [γˉ][\bar\gamma].

Démonstration

La loi est bien définie par (iii) du nœud Homotopie. Les trois axiomes résultent du reparamétrage.

Associativité. On vérifie que (γ⋅δ)⋅ε=(γ⋅(δ⋅ε))∘φ(\gamma \cdot \delta) \cdot \varepsilon = (\gamma \cdot (\delta \cdot \varepsilon)) \circ \varphi, avec φ(s)=2s\varphi(s) = 2s sur [0,14][0, \frac14], φ(s)=s+14\varphi(s) = s + \frac14 sur [14,12][\frac14, \frac12] et φ(s)=s+12\varphi(s) = \frac{s + 1}2 sur [12,1][\frac12, 1] : sur chacun de ces trois intervalles, les deux membres parcourent respectivement γ\gamma, δ\delta et ε\varepsilon au même instant.

s t γ δ ε 0 1/4 1/2 1 1/2 3/4 1 t = 0 t = 1 (γ · δ) · ε γ · (δ · ε)
L'homotopie du reparamétrage, H(s,t)=(γ⋅(δ⋅ε))((1−t)φ(s)+ts)H(s, t) = (\gamma \cdot (\delta \cdot \varepsilon))\big((1 - t)\varphi(s) + ts\big), passe de (γ⋅δ)⋅ε(\gamma \cdot \delta) \cdot \varepsilon, en bas, à γ⋅(δ⋅ε)\gamma \cdot (\delta \cdot \varepsilon), en haut ; chaque région indique le chemin parcouru. La première frontière est le segment s=14+t4s = \frac14 + \frac t4, la seconde la courbe s=1+2t2+2ts = \frac{1 + 2t}{2 + 2t}, qui n'est pas un segment.

Comme φ\varphi est continue, croissante, et fixe 00 et 11, les deux lacets sont homotopes.

Neutre. cx⋅γ=γ∘φc_x \cdot \gamma = \gamma \circ \varphi avec φ(s)=0\varphi(s) = 0 sur [0,12][0, \frac12] et φ(s)=2s−1\varphi(s) = 2s - 1 ensuite ; de même γ⋅cx=γ∘ψ\gamma \cdot c_x = \gamma \circ \psi avec ψ(s)=2s\psi(s) = 2s sur [0,12][0, \frac12] et ψ(s)=1\psi(s) = 1 ensuite.

Inverse. H(s,t)=γ(2s(1−t))H(s, t) = \gamma(2s(1 - t)) pour s⩽12s \leqslant \frac12 et H(s,t)=γ((2−2s)(1−t))H(s, t) = \gamma((2 - 2s)(1 - t)) pour s⩾12s \geqslant \frac12 est une homotopie de γ⋅γˉ\gamma \cdot \bar\gamma à cxc_x : les deux formules coïncident en s=12s = \frac12, on a H(s,0)=(γ⋅γˉ)(s)H(s, 0) = (\gamma \cdot \bar\gamma)(s) puisque γˉ(2s−1)=γ(2−2s)\bar\gamma(2s - 1) = \gamma(2 - 2s), H(s,1)=γ(0)=xH(s, 1) = \gamma(0) = x, et H(0,t)=H(1,t)=xH(0, t) = H(1, t) = x.

En appliquant ceci à γˉ\bar\gamma, dont l'inverse est γ\gamma, on obtient γˉ⋅γ≃cx\bar\gamma \cdot \gamma \simeq c_x.

□
Remarque

Le groupe fondamental mesure les « trous » d'un espace : un lacet qui fait le tour d'un trou ne peut pas être contracté. Il n'est pas commutatif en général ; dans le plan privé de deux points, les lacets autour de chacun des deux points ne commutent pas. Le chapitre Seifert-van Kampen le démontre pour le bouquet de deux cercles (Bouquet de deux cercles), dont le groupe fondamental est libre à deux générateurs.

Remarque

L'ensemble des chemins de II dans XX est une partie de XIX^I (Application), et π1(X,x)\pi_1(X, x) en est un ensemble quotient (Relation d'équivalence) : la construction reste dans 𝖹𝖥\mathsf{ZF}.

Repose sur

Homotopie de cheminsStructures algébriques

Sert à

Fonctorialité et changement de point de baseEspaces simplement connexes
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