Proposition 1Topologie algébrique

Chemins et connexité par arcs

On note $I = [0, 1]$ , muni de la topologie induite par ${\mathbb R}$ . Un chemin d'un point $x$ à un point $y$ d'un espace topologique $X$ est une application continue $\gamma : I \to X$ telle que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$ ; c'est un lacet en $x$ si $x = y$ .

On note $c_x$ le chemin constant, $\bar\gamma(s) = \gamma(1 - s)$ le chemin inverse et, si $\gamma(1) = \delta(0)$ , $\gamma \cdot \delta$ le chemin qui parcourt $\gamma$ puis $\delta$ : $(\gamma \cdot \delta)(s) = \begin{cases} \gamma(2s) & \text{si } s \leqslant \tfrac12, \\ \delta(2s - 1) & \text{si } s \geqslant \tfrac12. \end{cases}$ L'espace $X$ est connexe par arcs si deux points quelconques sont reliés par un chemin.

Énoncé

(i) Recollement. Si $X = F \cup G$ avec $F$ et $G$ fermés, une application $f : X \to Y$ dont les restrictions à $F$ et à $G$ sont continues est continue.

(ii) L'addition et la multiplication $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ sont continues. Par suite, $\bar\gamma$ et $\gamma \cdot \delta$ sont des chemins.

(iii) Un espace connexe par arcs est connexe.

Démonstration

(i) Pour un fermé $C$ de $Y$ , $f^{-1}(C) = (f|_F)^{-1}(C) \cup (f|_G)^{-1}(C)$ . Chaque terme est fermé dans $F$ , resp. $G$ , donc dans $X$ , puisque $F$ et $G$ sont fermés ; la réunion est fermée (Continuité).

(ii) L'addition et la multiplication sont continues (Sphère unité Sⁿ, (i)). Les applications $s \mapsto 1 - s$ , $s \mapsto 2s$ et $s \mapsto 2s - 1$ sont donc continues, et $\gamma \cdot \delta$ l'est par (i), appliqué aux fermés $[0, \frac12]$ et $[\frac12, 1]$ , sur lesquels les deux formules coïncident en $\frac12$ .

(iii) Si $X$ est vide, il est connexe ; sinon, fixons $x_0 \in X$ . Pour chaque $y$ , l'image d'un chemin de $x_0$ à $y$ est connexe, comme image continue de $I$ , qui est connexe (Parties connexes de ℝ, Réunions de connexes). $X$ est la réunion de ces images, qui contiennent toutes $x_0$ : il est connexe.

□

Remarque

La réciproque de (iii) est fausse. Soit $A$ le graphe de $x \mapsto \sin\frac1x$ sur $]0, 1]$ et $S = \{0\} \times [-1, 1]$ ; la fonction $\sin$ , celle de l'analyse réelle (Cosinus et sinus sur ℝ), ne sert qu'à cet exemple. La partie $\Gamma = A \cup S$ du plan est connexe, comme on l'a vu au nœud Stabilité de la connexité, mais elle n'est pas connexe par arcs : aucun chemin ne relie le segment vertical au reste de la courbe.

En effet, soit $\gamma = (u, v)$ un chemin dans $\Gamma$ de $(0, 0)$ à $(1, \sin 1)$ , et $s_0$ la borne supérieure des $s$ tels que $u(s) = 0$ . Cet ensemble est fermé, par continuité de $u$ , donc $u(s_0) = 0$ , et $s_0 < 1$ ; pour $s > s_0$ , le point $\gamma(s)$ est dans $A$ , d'où $v(s) = \sin\frac1{u(s)}$ .

Par continuité de $v$ en $s_0$ , il existe $s_1 \in \,]s_0, 1]$ tel que $|v(s) - v(s_0)| < \frac12$ sur $[s_0, s_1]$ . Le réel $a = u(s_1)$ est strictement positif, et, par le théorème des valeurs intermédiaires, $u$ prend sur $[s_0, s_1]$ toutes les valeurs de $[0, a]$ , en particulier, pour $n$ assez grand, $\frac1{\pi/2 + 2n\pi}$ et $\frac1{3\pi/2 + 2n\pi}$ , où $v$ vaut $1$ et $-1$ . Ces deux valeurs seraient à distance moins de $\frac12$ de $v(s_0)$ , donc à distance moins de $1$ l'une de l'autre : c'est absurde.

Repose sur

Structures topologiques Analyse réelle

Sert à

Homotopie de chemins Relèvement des chemins