Proposition 2Topologie algébrique

Homotopie de chemins

Deux chemins $\gamma$ et $\delta$ de $x$ à $y$ sont homotopes, ce qu'on note $\gamma \simeq \delta$ , s'il existe une application continue $H : I \times I \to X$ telle que $H(s, 0) = \gamma(s)$ , $H(s, 1) = \delta(s)$ , $H(0, t) = x$ et $H(1, t) = y$ pour tous $s, t$ . On déforme continûment $\gamma$ en $\delta$ sans bouger les extrémités.

t

fixé, le segment horizontal du carré est envoyé par

H

sur un chemin de

x

y

, en rouge : le bas sur

\gamma

, le haut sur

\delta

, et les côtés verticaux sur les extrémités fixes

x

y

Énoncé

(i) L'homotopie est une relation d'équivalence sur les chemins de $x$ à $y$ .

(ii) Reparamétrage. Si $\varphi : I \to I$ est continue avec $\varphi(0) = 0$ et $\varphi(1) = 1$ , alors $\gamma \circ \varphi \simeq \gamma$ .

(iii) Si $\gamma \simeq \gamma'$ et $\delta \simeq \delta'$ , avec $\gamma(1) = \delta(0)$ , alors $\gamma \cdot \delta \simeq \gamma' \cdot \delta'$ .

Démonstration

(i) Réflexivité : $H(s, t) = \gamma(s)$ . Symétrie : $(s, t) \mapsto H(s, 1 - t)$ .

Transitivité : si $H$ va de $\gamma$ à $\delta$ et $H'$ de $\delta$ à $\varepsilon$ , on pose $K(s, t) = H(s, 2t)$ pour $t \leqslant \frac12$ et $K(s, t) = H'(s, 2t - 1)$ pour $t \geqslant \frac12$ , continue par recollement (Chemins).

(ii) L'application $H(s, t) = \gamma\big((1 - t)\varphi(s) + ts\big)$ convient : le point $(1 - t)\varphi(s) + ts$ reste dans $I$ , comme moyenne pondérée de deux points de $I$ , et dépend continûment de $(s, t)$ (Chemins, point (ii)) ; pour $s = 0$ et $s = 1$ , il vaut $0$ et $1$ .

(iii) Si $H$ et $H'$ sont les homotopies, $K(s, t) = H(2s, t)$ pour $s \leqslant \frac12$ et $K(s, t) = H'(2s - 1, t)$ pour $s \geqslant \frac12$ convient ; les deux formules valent $\gamma(1) = \delta(0)$ pour $s = \frac12$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier la condition sur les extrémités. Sans elle, deux chemins quelconques d'un espace convexe seraient homotopes, mais surtout tout lacet $\gamma$ serait homotope au lacet constant par $H(s, t) = \gamma((1 - t)s)$ , dont les étapes intermédiaires ne sont plus des lacets, et le groupe fondamental, au nœud suivant, serait trivial.

Repose sur

Chemins et connexité par arcs

Sert à

Le groupe fondamental Relèvement des homotopies