Relèvement des homotopies

Par le lemme de Lebesgue, appliqué comme au nœud Relèvement des chemins au compact $I \times I$ et aux images réciproques par $H$ des ouverts uniformément couverts, on découpe $I \times I$ en petits carrés $Q_{jk}$ dont chaque image par $H$ est dans un ouvert uniformément couvert, et l'on construit $\tilde H$ carré par carré, rangée après rangée, de gauche à droite.

Lorsqu'on traite $Q$, la partie de son bord déjà traitée, formée de son côté gauche et de son côté inférieur pour un carré intérieur, de son seul côté gauche dans la première rangée, de son seul côté inférieur dans la première colonne, et du seul coin $(0, 0)$, où l'on impose $\tilde H(0, 0) = e$, pour le premier carré, est connexe dans tous les cas. Son image par le relèvement déjà construit, continu, est donc contenue dans un seul feuillet $V$, puisque les feuillets sont des ouverts disjoints.

On pose $$\tilde H = (p|_V)^{-1} \circ H$$ sur $Q$, qui prolonge les valeurs déjà définies par injectivité de $p|_V$ ; le recollement des carrés, en nombre fini, est continu.

L'unicité vient du nœud Revêtements, $I \times I$ étant connexe.

Enfin, si $H$ est une homotopie de $\gamma$ à $\delta$, au sens du nœud Homotopie, les applications $t \mapsto \tilde H(0, t)$ et $t \mapsto \tilde H(1, t)$ relèvent des chemins constants ; par unicité (Revêtements), elles sont constantes.

Par unicité encore (Relèvement des chemins), $s \mapsto \tilde H(s, 0)$ et $s \mapsto \tilde H(s, 1)$ sont les relèvements de $\gamma$ et de $\delta$ issus de $e$, qui ont donc la même extrémité $\tilde H(1, 0) = \tilde H(1, 1)$.