Prolongement du cosinus et du sinus à ℝ

(i) Soit $\varepsilon \in \,]0, 1]$. Par Tangente, cos et sin, (i), il existe $\delta > 0$ tel que $\tan y > \frac1\varepsilon$ pour $\frac\pi2 - \delta < y < \frac\pi2$ ; quitte à remplacer $\delta$ par $\min(\delta, \frac\pi2)$, on suppose $\delta \leqslant \frac\pi2$. Pour un tel $y$, on a $y > 0$, $\tan y > 0$, et $\sqrt{1 + \tan^2 y} > \sqrt{\tan^2 y} = \tan y$ par stricte croissance de la racine carrée, d'où $$0 < c(y) < \frac{1}{\tan y} < \varepsilon.$$

Comme $s(y) > 0$ et $s(y)^2 = 1 - c(y)^2$, on a de plus $$\begin{aligned} 0 \leqslant 1 - s(y) &= \frac{1 - s(y)^2}{1 + s(y)} = \frac{c(y)^2}{1 + s(y)} \\ &\leqslant c(y)^2 < \varepsilon. \end{aligned}$$ Ce sont les deux limites en $\frac\pi2$. Celles en $-\frac\pi2$ s'en déduisent, puisque $c$ est paire et $s$ impaire. Le prolongement par les limites est continu (Limite en un point, (ii)).

(ii) Partie entière. Soit $x$ réel. L'ensemble des entiers $n$ tels que $n\pi - \frac\pi2 \leqslant x$ est non vide et majoré, par la propriété d'Archimède (Archimède, densité de ℚ) ; il a donc un plus grand élément $k(x)$ (Ordre de ℤ, (ii)). Alors $x - k(x)\pi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2[$, et $k(x)$ est le seul entier qui ait cette propriété, puisque deux tels entiers $n$ et $n'$ vérifient $|n - n'|\,\pi < \pi$.

Définition. On pose $$\cos x = (-1)^{k(x)}\, \bar c\big(x - k(x)\pi\big),$$ et de même pour $\sin$ avec $\bar s$. Soit $m$ un entier tel que $x - m\pi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$. Si $x - m\pi < \frac\pi2$, alors $m = k(x)$ et la formule annoncée est la définition.

Sinon $x - m\pi = \frac\pi2$, donc $k(x) = m + 1$ et $x - k(x)\pi = -\frac\pi2$. La définition donne alors $\cos x = (-1)^{m+1}\bar c(-\frac\pi2) = 0 = (-1)^m\bar c(\frac\pi2)$ et $\sin x = (-1)^{m+1}\bar s(-\frac\pi2) = (-1)^m = (-1)^m \bar s(\frac\pi2)$. C'est ici que servent les égalités $\bar c(\frac\pi2) = -\bar c(-\frac\pi2)$ et $\bar s(\frac\pi2) = -\bar s(-\frac\pi2)$ : les deux morceaux qui se rencontrent en $\frac\pi2 + m\pi$ y prennent la même valeur.

Avec $m = 0$, on voit que $\cos$ et $\sin$ prolongent $\bar c$ et $\bar s$. Avec $m = k(x) + 1$ pour le réel $x + \pi$, dont l'écart à $m\pi$ est $x - k(x)\pi$, on obtient $$\begin{aligned} \cos(x + \pi) &= (-1)^{k(x) + 1}\, \bar c\big(x - k(x)\pi\big) \\ &= -\cos x, \end{aligned}$$ et de même pour $\sin$.

Unicité. Soit $g$ une fonction qui prolonge $\bar c$ et vérifie $g(x + \pi) = -g(x)$ pour tout $x$. En appliquant cette relation à $x - \pi$, on a aussi $g(x - \pi) = -g(x)$ ; une récurrence sur $|m|$ donne $g(z + m\pi) = (-1)^m g(z)$ pour tout réel $z$ et tout entier $m$. Avec $z = x - k(x)\pi$ et $m = k(x)$, on obtient $g(x) = \cos x$. Il en va de même pour $\sin$.

(iii) Pour tout entier $m$, notons $J_m = [m\pi - \frac\pi2, m\pi + \frac\pi2]$. Sur $J_m$, on a $\cos x = (-1)^m \bar c(x - m\pi)$ par (ii) : la fonction $\cos$ y est continue, et dérivable en tout point intérieur, de dérivée $$\begin{aligned} (-1)^m c'(x - m\pi) &= -(-1)^m s(x - m\pi) \\ &= -\sin x, \end{aligned}$$ par la dérivée d'une composée et le nœud Tangente, cos et sin, (iii). De même, $\sin$ est continue sur $J_m$, et $\sin' = \cos$ à l'intérieur de $J_m$.

Tout réel est intérieur à l'un des $J_m$, sauf les points $a = m\pi + \frac\pi2$, qui appartiennent à $J_m$ et à $J_{m+1}$. En un tel point, $\cos$ est continue : pour $\varepsilon > 0$, la continuité sur $J_m$ fournit $\delta_1$, celle sur $J_{m+1}$ fournit $\delta_2$, et tout $x$ tel que $|x - a| < \min(\delta_1, \delta_2, \pi)$ est dans $J_m$ ou dans $J_{m+1}$, donc vérifie $|\cos x - \cos a| < \varepsilon$. Ainsi $\cos$ et $\sin$ sont continues sur $\mathbb R$.

Sur l'intervalle $]a - \pi, a + \pi[$, la fonction $\cos$ est continue, et dérivable en tout point autre que $a$, de dérivée $-\sin$. Comme $\sin$ est continue en $a$, $-\sin x$ tend vers $-\sin a$ quand $x$ tend vers $a$ (Limite en un point, (ii) et (iii)). Le théorème de la limite de la dérivée (Limite de la dérivée) montre que $\cos$ est dérivable en $a$, et $\cos'(a) = -\sin a$. Le même raisonnement donne $\sin'(a) = \cos a$.

Enfin, pour $x \in J_m$, on a $\cos^2 x + \sin^2 x = \bar c^2 + \bar s^2$ au point $x - m\pi$, qui vaut $1$ sur $I_0$ (Tangente, cos et sin, (iii)) et $0 + 1 = 1$ en $\pm\frac\pi2$.