Théorème de la limite de la dérivée

Soit $\varepsilon > 0$. Par hypothèse, il existe $\delta > 0$ tel que $|f'(c) - \ell| < \varepsilon$ pour tout $c \in I \setminus \{a\}$ vérifiant $|c - a| < \delta$.

Soit $x \in I$, distinct de $a$, tel que $|x - a| < \delta$. Le segment d'extrémités $a$ et $x$ est contenu dans $I$, puisque $I$ est un intervalle. La fonction $f$ y est continue, et dérivable en chacun des points strictement compris entre $a$ et $x$, qui sont distincts de $a$.

L'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis), appliquée sur ce segment, fournit un point $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que $$f(x) - f(a) = f'(c)\,(x - a).$$ Ce point vérifie $c \neq a$ et $|c - a| < |x - a| < \delta$, donc $$\Big|\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - \ell\Big| = |f'(c) - \ell| < \varepsilon.$$

Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ tend donc vers $\ell$, ce qui est la définition de $f'(a) = \ell$ (Dérivabilité en un point).