Définition 1Dérivabilité

Dérivabilité en un point

Énoncé

Soit $I$ un intervalle de ${\mathbb R}$ non réduit à un point, $f : I \to \mathbb R$ et $a \in I$ . Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est la fonction $\tau_a : I \setminus \{a\} \to \mathbb R$ définie par $\tau_a(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si $\tau_a$ admet une limite finie en $a$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . Elle est dérivable sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ , et la fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ est alors sa dérivée.

Pour

f(x) = x^2

a = 1

, les sécantes qui joignent

(a, f(a))

aux points

(x, f(x))

ont pour pentes les taux d'accroissement

\tau_a(x) = x + a

, inscrits au bord :

3{,}6

3

2{,}5

pour

x = 2{,}6

2

1{,}5

, et

1{,}3

pour

x = 0{,}3

. Quand

x

tend vers

a

, d'un côté comme de l'autre, elles tendent vers la tangente rouge, de pente

f'(1) = 2

On définit de même la dérivée à droite $f'_d(a)$ et la dérivée à gauche $f'_g(a)$ comme les limites de $\tau_a$ en $a$ dans $I \cap \,]a, +\infty[$ et dans $I \cap \,]{-\infty}, a[$ , lorsque ces ensembles ne sont pas vides.

Démonstration

Il faut s'assurer que la définition a un sens, c'est-à-dire que $a$ est adhérent à $I \setminus \{a\}$ . Soit $b \in I$ distinct de $a$ et $\delta > 0$ . Le point $x = a + \min\Big(\frac\delta2, |b - a|\Big)\frac{b - a}{|b - a|}$ est situé entre $a$ et $b$ , donc dans $I$ puisque $I$ est un intervalle ; il est distinct de $a$ et vérifie $|x - a| < \delta$ . La limite, si elle existe, est alors unique (Limite en un point, (i)).

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Remarque

Trois exemples fixent les idées. Une fonction constante a un taux d'accroissement nul, donc une dérivée nulle, et $x \mapsto x$ a un taux constant égal à $1$ . Pour $f(x) = x^2$ , on a $\tau_a(x) = x + a$ , qui tend vers $2a$ : $f'(a) = 2a$ . Pour $f(x) = 1/x$ sur $]0, +\infty[$ , on a $\tau_a(x) = -1/(xa)$ , qui tend vers $-1/a^2$ par les opérations sur les limites.

Remarque

La fonction $x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$ : son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. Elle admet donc une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles diffèrent.

En un point $a$ qui n'est pas une extrémité de $I$ , $f$ est dérivable si et seulement si elle a des dérivées à droite et à gauche égales : si $\delta_d$ et $\delta_g$ conviennent pour un même $\varepsilon$ de chaque côté, leur minimum convient pour $I \setminus \{a\}$ .

À gauche, le graphe de

x \mapsto |x|

est formé de deux demi-droites de pentes

1

-1

. À droite, le taux d'accroissement en

0

\tau_0(x) = |x|/x

, défini seulement pour

x \neq 0

, vaut

1

à droite et

-1

à gauche : ses limites de chaque côté existent mais diffèrent, de sorte qu'il n'a pas de limite en

0

Remarque

En une extrémité de $I$ , la dérivée n'est qu'une dérivée d'un côté. C'est en ce sens que le théorème fondamental de l'analyse affirme $F' = f$ sur tout l'intervalle, extrémités comprises, tandis que les théorèmes de Rolle et des accroissements finis ne demandent la dérivabilité que sur l'intervalle ouvert.

Repose sur

Limite d'une fonction en un point

Sert à

Développement limité à l'ordre 1 et continuité Extremum local et dérivée nulle