Proposition 4Dérivabilité

Extremum local et dérivée nulle

Soit $f : I \to {\mathbb R}$ et $a \in I$ . On dit que $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe $r > 0$ tel que $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x \in I$ vérifiant $|x - a| < r$ , et un minimum local si l'inégalité inverse est vraie ; un extremum local est un maximum local ou un minimum local.

Énoncé

Soit $I$ un intervalle, $f : I \to \mathbb R$ et $a$ un point de $I$ qui n'en est pas une extrémité. Si $f$ admet un extremum local en $a$ et si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .

Démonstration

Quitte à remplacer $f$ par $-f$ , supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ , avec un rayon $r$ . Comme $a$ n'est pas une extrémité de $I$ , les ensembles $D_+ = I \cap \,]a, a + r[$ et $D_- = I \cap \,]a - r, a[$ sont des intervalles non vides dont $a$ est adhérent. Pour $x \in D_+$ , on a $f(x) - f(a) \leqslant 0$ et $x - a > 0$ , donc $\tau_a(x) \leqslant 0$ ; pour $x \in D_-$ , on a $\tau_a(x) \geqslant 0$ .

Le taux $\tau_a$ tend vers $f'(a)$ dans $I \setminus \{a\}$ , donc aussi dans $D_+$ et dans $D_-$ (Limite en un point, (iii)). Le passage à la limite dans les inégalités (même nœud, (vi)) donne $f'(a) \leqslant 0$ et $f'(a) \geqslant 0$ , d'où $f'(a) = 0$ .

□

Remarque

L'hypothèse que $a$ n'est pas une extrémité est indispensable. La fonction $x \mapsto x$ sur $[0, 1]$ atteint son maximum en $1$ , où sa dérivée, à gauche, vaut $1$ : seul un côté du taux est disponible, et il ne fournit qu'une inégalité.

Remarque

La réciproque est fausse, et c'est le piège le plus répandu : $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ sans avoir d'extremum local en $0$ , puisque $f$ prend des valeurs négatives à gauche et positives à droite. Un zéro de la dérivée n'est qu'un candidat ; il faut ensuite étudier le signe de $f'$ autour de lui, ce que permettra le nœud Signe de la dérivée.

À gauche,

f(x) = \frac{x}{1 + x^2}

atteint son maximum

\frac12

1

et son minimum

-\frac12

-1

, avec des tangentes horizontales. À droite,

x \mapsto x^3

a aussi une tangente horizontale en

0

, mais les taux d'accroissement en

0

, pentes des cordes issues de l'origine, sont positifs des deux côtés : la fonction traverse sa tangente et n'a pas d'extremum en

0

Remarque

Pour $f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}$ , la dérivée $\dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$ ne s'annule qu'en $\pm 1$ . Ce sont bien des extrema, et même globaux : $\frac12 - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{2(1 + x^2)} \geqslant 0$ et $f(x) + \frac12 = \frac{(x + 1)^2}{2(1 + x^2)} \geqslant 0.$

Repose sur

Dérivabilité en un point

Sert à

Théorème de Rolle