Signe de la dérivée et monotonie

(i) Si $f$ est croissante et $x \in I^\circ$, le taux d'accroissement $\tau_x(y) = \frac{f(y) - f(x)}{y - x}$ est $\geqslant 0$ pour tout $y \neq x$ de $I$, le numérateur et le dénominateur ayant le même signe ; par passage à la limite (Limite en un point, (vi)), $f'(x) \geqslant 0$.

Réciproquement, si $f' \geqslant 0$ sur $I^\circ$ et $x < y$ dans $I$, on a $]x, y[\, \subset I^\circ$, et l'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) fournit $c \in \,]x, y[$ tel que $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geqslant 0$.

(ii) On applique (i) à $f$ et à $-f$ : $f$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante. La réciproque vient de ce qu'un taux d'accroissement d'une fonction constante est nul.

(iii) Dans la réciproque de (i), on obtient cette fois $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) > 0$.

(iv) Si $f$ est strictement croissante, elle est croissante, donc $f' \geqslant 0$ par (i) ; et si $f'$ était nulle sur un intervalle ouvert $]x, y[$ non vide, contenu dans $I^\circ$, $f$ serait constante sur $[x, y]$ par (ii), appliqué à la restriction de $f$ à $[x, y]$, ce qui contredit la stricte croissance.

Réciproquement, supposons ces deux conditions. Par (i), $f$ est croissante. Si l'on avait $f(x) = f(y)$ avec $x < y$, la croissance donnerait $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(y) = f(x)$ pour tout $t \in [x, y]$, donc $f$ serait constante sur $[x, y]$.

En tout $t \in \,]x, y[$, posons $r = \min(t - x, y - t) > 0$. L'ensemble $(I \setminus \{t\}) \cap \,]t - r, t + r[$, égal à $]t - r, t + r[ \setminus \{t\}$, est contenu dans $]x, y[$, où $f$ est constante, de sorte que le taux d'accroissement de $f$ en $t$ y est nul. Par le caractère local des limites (Limite en un point, (iii)), $f'(t) = 0$. Ainsi $f'$ serait identiquement nulle sur $]x, y[$, ce qui est exclu.