Convexité de l'exponentielle

(i) Soit $a, b \in I$, $s \in [0, 1]$ et $c = (1 - s)a + sb$. Si $s \in \{0, 1\}$ ou $a = b$, l'inégalité est une égalité. Quitte à échanger $a$ et $b$, et $s$ et $1 - s$, supposons $a < b$ et $0 < s < 1$, de sorte que $a < c < b$, avec $c - a = s(b - a)$ et $b - c = (1 - s)(b - a)$.

L'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis), sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$, fournit $\xi_1 \in \,]a, c[$ et $\xi_2 \in \,]c, b[$ tels que $$\begin{aligned} f(c) - f(a) &= f'(\xi_1)\, s(b - a), \\ f(b) - f(c) &= f'(\xi_2)\,(1 - s)(b - a). \end{aligned}$$ Comme $\xi_1 < \xi_2$ et que $f'$ est croissante, $f'(\xi_1) \leqslant f'(\xi_2)$. Par suite $$\begin{aligned} &(1 - s)f(a) + sf(b) - f(c) \\ &\quad = s\big(f(b) - f(c)\big) \\ &\qquad - (1 - s)\big(f(c) - f(a)\big) \\ &\quad = s(1 - s)(b - a)\big(f'(\xi_2) - f'(\xi_1)\big), \end{aligned}$$ qui est positif ou nul : c'est l'inégalité de convexité.

(ii) La dérivée de $\exp$ est $\exp$ (Exponentielle, (ii)), qui est croissante : (i) s'applique. Pour $x \in [-1, 1]$, on prend $a = -t$, $b = t$ et $s = \frac{1 + x}{2} \in [0, 1]$ ; alors $(1 - s)a + sb = t(2s - 1) = tx$, et l'inégalité de convexité est celle de l'énoncé.

(iii) Par Série de l'exponentielle, (i), $S_n(t) \to \exp t$ et $S_n(-t) \to \exp(-t)$ ; il en va de même des suites extraites d'indices $2n + 1$ (Suites extraites, (i)), et $$\frac{S_{2n+1}(t) + S_{2n+1}(-t)}{2} = \sum_{j=0}^n \frac{t^{2j}}{(2j)!},$$ puisque les termes d'indice impair se compensent et que ceux d'indice pair sont doublés. Cette somme tend donc vers $\cosh t$ (Opérations sur les limites).

D'autre part, en regroupant les facteurs deux par deux (Sommes, produits et puissances, (iii)), $(2j)! = \prod_{i=1}^{j} (2i - 1)(2i) \geqslant \prod_{i=1}^j 2i = 2^j j!$, et $t^{2j} \geqslant 0$, d'où $$\sum_{j=0}^n \frac{t^{2j}}{(2j)!} \leqslant \sum_{j=0}^n \frac{(t^2/2)^j}{j!} = S_n\Big(\frac{t^2}2\Big).$$ Le membre de droite tend vers $\exp(t^2/2)$, et le passage à la limite dans les inégalités (Passage à la limite, (ii)) donne $\cosh t \leqslant \exp(t^2/2)$.