Égalité des accroissements finis

Géométriquement, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde qui joint $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ ; cinématiquement, un mobile dont la vitesse moyenne vaut $v$ sur une durée passe au moins une fois par la vitesse instantanée $v$. La fonction $g$ de la démonstration est l'écart vertical entre le graphe et la corde.

Le point $c$ n'est pas unique, et l'on ne sait en général rien de plus sur lui que $a < c < b$. L'erreur la plus répandue est de lui attribuer une valeur particulière, par exemple le milieu de $[a, b]$ : sur l'exemple ci-dessus, le milieu $2$ donne $f'(2) = -3$, qui n'a rien à voir avec la pente $1$ de la corde. Le théorème n'est utile que par les encadrements de $f'(c)$ qu'il permet, ce que fait le nœud suivant.

L'égalité est propre aux fonctions à valeurs réelles. Pour une fonction à valeurs dans $\mathbb R^2$, chaque coordonnée a son propre point $c$, et seule l'inégalité subsiste : c'est le point (ii) du nœud Accroissements finis du calcul différentiel.