Opérations sur les fonctions dérivables

Écrivons, par la forme de Carathéodory (Développement à l'ordre 1, (iii)), $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ et $g(x) - g(a) = \psi(x)(x - a)$, avec $\varphi$ et $\psi$ continues en $a$, $\varphi(a) = f'(a)$ et $\psi(a) = g'(a)$. Dans chaque cas, on exhibe une fonction continue en $a$ qui joue le même rôle pour la fonction étudiée ; sa valeur en $a$ est le nombre dérivé cherché.

(i) Les fonctions $\varphi + \psi$ et $\lambda \varphi$ conviennent.

(ii) On a $$\begin{aligned} &f(x)g(x) - f(a)g(a) \\ &\quad = f(x)\big(g(x) - g(a)\big) \\ &\qquad + g(a)\big(f(x) - f(a)\big) \\ &\quad = \big(f(x)\psi(x) + g(a)\varphi(x)\big)(x - a). \end{aligned}$$ La fonction entre parenthèses est continue en $a$, car $f$ l'est par Développement à l'ordre 1, et vaut $f(a)g'(a) + g(a)f'(a)$ en $a$.

(iii) On a $$\begin{aligned} \frac1{g(x)} - \frac1{g(a)} &= -\frac{g(x) - g(a)}{g(x)g(a)} \\ &= -\frac{\psi(x)}{g(x)g(a)}\,(x - a), \end{aligned}$$ et la fonction $x \mapsto -\psi(x)/(g(x)g(a))$ est continue en $a$ par les opérations sur les limites (Limite en un point, (ii) et (iv)), puisque $g$ est continue en $a$ et ne s'annule pas ; elle vaut $-g'(a)/g(a)^2$ en $a$. Le quotient $f/g = f \cdot (1/g)$ relève alors de (ii).

(iv) Par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, le taux d'accroissement de $x \mapsto x - c$ vaut constamment $1$. Si l'énoncé vaut pour $n$, (ii) appliqué au produit de $(x - c)^n$ par $x - c$ donne la dérivée $$\begin{aligned} &n(x - c)^{n-1}(x - c) + (x - c)^n \\ &\quad = (n + 1)(x - c)^n. \end{aligned}$$ Une fonction polynomiale est la somme d'une constante et d'un nombre fini de fonctions $x \mapsto \lambda x^n$, avec $\lambda$ réel : (i) conclut. Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes : (iii) conclut.