Le polynôme X⁵ − 4X + 2 et ses racines

Irréductibilité. Le polynôme $P = X^5 - 4X + 2$ est irréductible sur $\mathbb Q$, corps des fractions de ${\mathbb Z}$, par le critère d'Eisenstein avec $p = 2$ (Eisenstein, (i)).

Trois racines réelles, simples. On a $P(-2) = -22$, $P(0) = 2$, $P(1) = -1$ et $P(2) = 26$ : par les valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires), $P$ a une racine réelle dans chacun des intervalles $]{-2}, 0[$, $]0, 1[$ et $]1, 2[$, soit trois racines $r_1 < r_2 < r_3$.

La fonction $x \mapsto P(x)$ est dérivable, de dérivée $x \mapsto 5x^4 - 4$ (Dérivabilité), qui s'annule en au plus deux réels, puisque $x \mapsto x^4$ est paire et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Entre deux racines réelles de $P$ se trouve une racine de la dérivée, par le théorème de Rolle (Rolle) ; $P$ a donc au plus trois racines réelles, qui sont $r_1$, $r_2$, $r_3$.

Elles sont simples : en une racine multiple $r$, on aurait $P(r) = P'(r) = 0$ (Dérivée formelle, (ii)), donc $r^4 = \frac45$, puis $$0 = r \cdot r^4 - 4r + 2 = 2 - \frac{16}5 r,$$ soit $r = \frac58$, alors que $\big(\frac58\big)^4 = \frac{625}{4096} \neq \frac45$.

Le facteur de degré $2$. Les $r_i$ sont des racines distinctes de $P$ dans l'anneau intègre ${\mathbb R}$ ; donc $P = (X - r_1)(X - r_2)(X - r_3)\,Q$ avec $Q \in {\mathbb R[X]}$ (Racines, (iii)), unitaire de degré $2$ comme le montrent les degrés et les coefficients dominants : $Q = X^2 + \beta X + \gamma$.

Le polynôme $Q$ n'a pas de racine réelle, car une telle racine serait une racine réelle de $P$, donc l'un des $r_i$, qui serait alors racine double de $P$. Par la résolution du second degré dans ${\mathbb C}$ (Racines carrées complexes, (ii)), $Q$ a une racine $z = (-\beta + \delta)/2$, où $\delta^2 = \beta^2 - 4\gamma$, et $z$ n'est pas réel.

Comme $Q$ est à coefficients réels, $Q(\bar z) = \overline{Q(z)} = 0$ (Conjugué, module, (ii)), avec $\bar z \neq z$ ; le produit $(X - z)(X - \bar z)$ divise donc $Q$ (Racines, (iii)), et lui est égal, les deux étant unitaires de degré $2$. Ainsi $$\begin{aligned} P = {}&(X - r_1)(X - r_2)(X - r_3) \\ &(X - z)(X - \bar z) \end{aligned}$$ a cinq racines distinctes dans $\mathbb C$, et $L = \mathbb Q(r_1, r_2, r_3, z, \bar z) \subset \mathbb C$ est un corps de décomposition de $P$ sur $\mathbb Q$.