Proposition 1Anneaux de polynômes

Dérivée formelle et racines multiples

La dérivée de $P = \sum_k a_kX^k \in {A[X]}$ est le polynôme $P' = \sum_{k \geqslant 1} k\,a_k\,X^{k-1},$ où $k\,a_k$ est le multiple entier (Anneau A[X]). Aucune limite n'intervient : c'est une définition sur les coefficients, valable sur tout anneau commutatif.

Énoncé

(i) L'application $P \mapsto P'$ est additive, $(cP)' = cP'$ pour $c \in A$ , et $(PQ)' = P'Q + PQ'$ . Par suite $(P^n)' = n\,P^{n-1}P'$ pour $n \geqslant 1$ , et en particulier $\big((X - a)^n\big)' = n\,(X - a)^{n-1}$ .

(ii) Pour $P \neq 0$ , $a \in A$ est racine multiple de $P$ si et seulement si $P(a) = P'(a) = 0$ .

(iii) Si $P = (X - a)^mQ$ avec $m \geqslant 1$ , alors $P' = (X - a)^{m-1}\big(m\,Q + (X - a)\,Q'\big)$ . Si de plus $A$ est intègre, $Q(a) \neq 0$ et $m \cdot 1 \neq 0$ dans $A$ , la racine $a$ de $P$ , de multiplicité $m$ , est racine de $P'$ de multiplicité exactement $m - 1$ .

Démonstration

(i) L'additivité et la relation $(cP)' = cP'$ se lisent coefficient par coefficient, puisque $k(a_k + b_k) = ka_k + kb_k$ et $k(ca_k) = c\,(ka_k)$ .

Les deux membres de la formule du produit sont additifs en $P$ à $Q$ fixé, en $Q$ à $P$ fixé, et compatibles avec la multiplication par une constante ; tout polynôme étant une somme finie de termes $cX^i$ , il suffit de la vérifier pour $P = X^i$ et $Q = X^j$ . Or $\begin{aligned} (X^{i+j})' &= (i + j)\,X^{i+j-1} \\ &= i\,X^{i-1}X^j + X^i\,j\,X^{j-1}, \end{aligned}$ y compris si $i$ ou $j$ est nul, le terme correspondant étant alors nul.

Par récurrence, $\begin{aligned} (P^{n+1})' &= (P^nP)' \\ &= n\,P^{n-1}P'P + P^nP' \\ &= (n + 1)\,P^nP' ; \end{aligned}$ et $(X - a)' = 1$ .

(ii) Si $a$ est racine multiple, $P = (X - a)^2S$ , et $P' = 2(X - a)S + (X - a)^2S'$ s'annule en $a$ , comme $P$ .

Réciproquement, si $P(a) = 0$ , alors $P = (X - a)Q$ (Racines, (i)) et $P' = Q + (X - a)Q'$ , d'où $P'(a) = Q(a)$ . Si $P'(a) = 0$ , $Q(a) = 0$ , donc $X - a$ divise $Q$ , et $(X - a)^2$ divise $P$ .

(iii) La formule découle de (i). La valeur en $a$ du second facteur est $m\,Q(a) = (m \cdot 1)\,Q(a)$ , non nulle si $A$ est intègre, $Q(a) \neq 0$ et $m \cdot 1 \neq 0$ ; on conclut par le point (ii) du nœud Racines.

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Remarque

Pour $P = X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ , on a $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ : la racine double $1$ de $P$ est racine simple de $P'$ , et la racine simple $-2$ n'est pas racine de $P'$ , conformément à (ii) et (iii).

Remarque

L'hypothèse $m \cdot 1 \neq 0$ de (iii) ne peut pas être omise. Dans $({\mathbb Z/3\mathbb Z})[X]$ , le même polynôme devient $X^3 + \overline 2 = (X - \overline 1)^3$ , puisque les coefficients $3$ du développement sont nuls, et sa dérivée $\overline 3X^2$ est nulle.

La racine triple $\overline 1$ annule bien $P$ et $P'$ , comme le veut (ii), mais $P'$ n'a plus de multiplicité en $\overline 1$ , la multiplicité n'étant définie que pour un polynôme non nul ; ici $m \cdot 1 = \overline 3 = \overline 0$ . C'est le phénomène que le nœud Séparabilité rencontrera en caractéristique $p$ .

Remarque

Pour un polynôme à coefficients réels, la dérivée formelle sera la dérivée de la fonction polynomiale au sens de l'analyse (Dérivabilité). La définition algébrique ne demande aucune limite, et c'est ce qui permet de l'employer sur $\mathbb Z/p\mathbb Z$ , où la notion de limite n'a pas de sens utile.

Repose sur

Racines et multiplicités

Sert à

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