Théorème 3Dérivabilité

Théorème de Rolle

Énoncé

Théorème de Rolle. Soit $f : [a,b] \to {\mathbb R}$ continue, dérivable sur $]a,b[$ , avec $f(a) = f(b)$ et $a < b$ . Il existe $c \in \,]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Démonstration

Par le théorème des bornes atteintes (Bornes atteintes), $f$ admet un minimum $m$ et un maximum $M$ sur $[a,b]$ . Si $m = M$ , $f$ est constante et tout $c$ convient. Sinon, l'une des deux valeurs diffère de $f(a) = f(b)$ ; supposons que ce soit $M$ , atteint en un point $c$ nécessairement intérieur.

En ce point intérieur, $f$ atteint son maximum, a fortiori un maximum local, et elle y est dérivable : la proposition Extremum local donne $f'(c) = 0$ . Le schéma ci-dessous en rappelle le mécanisme : les taux d'accroissement en $c$ sont $\leqslant 0$ à droite et $\geqslant 0$ à gauche. Le cas où $m$ diffère de $f(a)$ est symétrique.

Pour

f(x) = x(x-3)^2

sur

[0, 3]

, le maximum

M = 4

est atteint en

c = 1

. Les cordes issues de

(c, f(c))

descendent vers la droite et montent depuis la gauche : leurs pentes, les taux d'accroissement, sont

\leqslant 0

à droite et

\geqslant 0

à gauche, de sorte que la tangente, leur limite commune, est horizontale.

□

Remarque

Le second paragraphe de la démonstration est exactement l'argument du nœud Extremum local, appliqué au point $c$ , qui est intérieur à $[a, b]$ et où $f$ atteint son maximum. Le théorème des bornes atteintes (Bornes atteintes) fournit ce point : c'est lui, et donc la propriété de la borne supérieure, qui fait tout le travail.

Remarque

La continuité aux extrémités ne peut pas être omise. La fonction égale à $x$ sur $[0, 1[$ et à $0$ en $1$ est dérivable sur $]0, 1[$ , de dérivée $1$ , et vérifie $f(0) = f(1) = 0$ ; elle n'est pas continue en $1$ , et sa dérivée ne s'annule jamais.

Remarque

Le théorème sert souvent à compter des racines. Si $f$ est dérivable sur un intervalle et si $f'$ y a au plus $k$ zéros, alors $f$ y a au plus $k + 1$ zéros : entre deux zéros consécutifs de $f$ se trouve un zéro de $f'$ .

Pour $P = X^5 - 4X + 2$ , le polynôme dérivé $5X^4 - 4$ a deux racines réelles, donc $P$ en a au plus trois ; comme $P(-2) = -22$ , $P(0) = 2$ , $P(1) = -1$ et $P(2) = 26$ , les valeurs intermédiaires en donnent trois, voisines de $-1{,}519$ , $0{,}508$ et $1{,}244$ . C'est l'argument du nœud Le polynôme X⁵ − 4X + 2.

Repose sur

Extremum local et dérivée nulle

Sert à

Égalité des accroissements finis