Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $u < v$ deux éléments de $f(I)$, $y \in \,]u, v[$, et $a, b \in I$ tels que $f(a) = u$ et $f(b) = v$.

Cas $a < b$. On a $[a,b] \subset I$ puisque $I$ est un intervalle. La partie $A = \{x \in [a,b] : f(x) < y\}$ contient $a$ et est majorée par $b$ ; soit $c = \sup A \in [a,b]$, qui existe par la propriété de la borne supérieure (Borne supérieure).

Si $f(c) < y$, alors $c \neq b$ puisque $f(b) > y$. Par continuité en $c$ avec $\varepsilon = y - f(c)$, il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) < y$ pour $x \in [a,b]$ et $|x - c| < \delta$. Le point $c + \frac12 \min(\delta, b - c)$ appartient alors à $A$ et dépasse $c$ : contradiction.

Si $f(c) > y$, alors $c \neq a$. Par continuité, il existe $\delta > 0$, que l'on peut prendre inférieur à $c - a$, tel que $f(x) > y$ pour $x \in \,]c - \delta, c]$. Aucun élément de $A$ n'est dans cet intervalle, et aucun n'est strictement supérieur à $c$ ; donc $c - \delta$ majore $A$, ce qui contredit $c = \sup A$.

Ainsi $f(c) = y$, et $y \in f(I)$.

Cas $a > b$. On applique ce qui précède à $-f$ et à $-y$, puisque $-f(b) = -v < -y < -u = -f(a)$ avec $b < a$.