Racines carrées et équations du second degré

(i) Les quantités sous les racines sont positives, puisque $a^2 \leqslant a^2 + b^2 = |z|^2$ (Conjugué, module), donc $|a| = \sqrt{a^2} \leqslant |z|$ par croissance de la racine carrée (Racine carrée réelle). Notons $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $w$. Alors $$x^2 - y^2 = \frac{|z| + a}{2} - \frac{|z| - a}{2} = a,$$ et $(2xy)^2 = |z|^2 - a^2 = b^2$ ; comme $x \geqslant 0$ et que $y$ a le signe de $b$, $2xy = b$. Donc $w^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = z$.

Si $u^2 = z = w^2$, alors $(u - w)(u + w) = 0$ et $u = \pm w$ ; ces deux valeurs sont distinctes si $z \neq 0$.

(ii) En multipliant par $4\alpha$, l'équation devient $(2\alpha u + \beta)^2 = \beta^2 - 4\alpha\gamma = \delta^2$, c'est-à-dire $2\alpha u + \beta = \pm\delta$ par (i).