Théorème 3Théorie de Galois

Corps de décomposition

Un polynôme $P \in {K[X]}$ de degré $n \geqslant 1$ est scindé sur $L$ s'il s'écrit $c\prod_{i=1}^n (X - \alpha_i)$ avec les $\alpha_i \in L$ . Un corps de décomposition de $P$ sur $K$ est une extension $L$ telle que $P$ soit scindé sur $L$ et $L = {K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)}$ .

Énoncé

(i) Existence. Tout polynôme non constant a un corps de décomposition, de degré au plus $n!$ sur $K$ .

(ii) Prolongement. Soit $\varphi : K \to K'$ un isomorphisme de corps, $P \in K[X]$ , $P^\varphi$ son image par $\varphi$ , $L$ un corps de décomposition de $P$ sur $K$ et $L'$ un corps de décomposition de $P^\varphi$ sur $K'$ . Alors $\varphi$ se prolonge en un isomorphisme $L \to L'$ . Si de plus $P^\varphi$ n'a que des racines simples, le nombre de prolongements est exactement $[L:K]$ ; en général, il est au plus $[L:K]$ .

(iii) Unicité. Deux corps de décomposition de $P$ sur $K$ sont isomorphes par un isomorphisme qui fixe $K$ .

Démonstration

(i) Par récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , $P$ est scindé sur $K$ , qui convient. Pour $n \geqslant 2$ , soit $Q$ un facteur irréductible de $P$ , qui existe par la factorisation en irréductibles (Irréductibles, (ii)).

Le corps de rupture $K_1 = K[X]/(Q)$ (Polynôme minimal, (iii)) contient une racine $\alpha_1$ , de degré $\leqslant n$ , et $P = (X - \alpha_1)P_1$ dans $K_1[X]$ (Racines, (i)). Un corps de décomposition de $P_1$ sur $K_1$ , de degré $\leqslant (n - 1)!$ , convient : il est engendré sur $K_1 = K(\alpha_1)$ par les racines de $P_1$ , donc sur $K$ par celles de $P$ , et son degré est au plus $n \cdot (n-1)!$ par multiplicativité.

(ii) Par récurrence sur $[L:K]$ . Si $[L:K] = 1$ , $P$ est scindé sur $K$ , donc $P^\varphi$ sur $K'$ , et $L' = K'$ .

Sinon, soit $\alpha \in L \setminus K$ une racine de $P$ , de polynôme minimal $\mu$ de degré $d \geqslant 2$ , et $\mu^\varphi$ son image par $\varphi$ , qui divise $P^\varphi$ et est scindé sur $L'$ .

Un prolongement de $\varphi$ à $K(\alpha) \cong K[X]/(\mu)$ est déterminé par l'image de $\alpha$ , qui doit être une racine de $\mu^\varphi$ dans $L'$ , et toute racine $\beta$ convient, puisque $K'[X]/(\mu^\varphi) \cong K'(\beta)$ . Il y a donc au moins un prolongement, et au plus $d$ , exactement $d$ si les racines de $P^\varphi$ sont simples.

$L$ est un corps de décomposition de $P$ sur $K(\alpha)$ , et $L'$ de $P^\varphi$ sur $K'(\beta)$ , avec $[L:K(\alpha)] = \frac{[L:K]}{d} ;$ par récurrence, chacun de ces prolongements se prolonge à $L$ de $[L:K]/d$ façons au plus, exactement si les racines sont simples. On conclut par multiplicativité.

(iii) Cas $K' = K$ et $\varphi = \mathrm{id}$ de (ii).

□

Remarque

Le corps de décomposition de $X^3 - 2$ sur ${\mathbb Q}$ , vu dans ${\mathbb C}$ , est $\mathbb Q(\sqrt[3]{2}, j)$ , où $j$ est une racine primitive cubique de l'unité : il est de degré $6 = 3!$ , la borne de (i) étant atteinte. En effet, $X^3 - 2$ est irréductible sur $\mathbb Q$ par le critère d'Eisenstein en $2$ (Eisenstein), si bien que $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2}) : \mathbb Q] = 3$ (Polynôme minimal, (ii)) ; le corps $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ , formé de réels, ne contient aucune racine de $X^2 + X + 1$ , ni $j$ ni $j^2 = -1 - j$ , qui ne sont pas réelles ; ce polynôme de degré $2$ y est donc irréductible, et $j$ est de degré $2$ sur lui, et la multiplicativité des degrés donne $6$ .

Les prolongements de l'identité de

\mathbb Q

L = \mathbb Q(\sqrt[3]2, j)

, avec

\alpha = \sqrt[3]2

, se construisent comme dans la preuve de (ii) : l'image de

\alpha

est l'une des trois racines de

X^3 - 2

, puis celle de

\alpha j

l'une des deux racines restantes, qui sont celles du transporté de son polynôme minimal

X^2 + \alpha X + \alpha^2

sur

\mathbb Q(\alpha)

. Les

3 \times 2 = 6 = [L:\mathbb Q]

feuilles sont six automorphismes distincts, et la dernière ligne donne la permutation qu'ils induisent sur les racines

\alpha

\alpha j

\alpha j^2

, numérotées

1

2

3

Le corps de décomposition de $X^3 - 3X + 1$ sur $\mathbb Q$ , lui, n'est que de degré $3$ , une racine suffisant à exprimer les deux autres. Ce polynôme n'a pas de racine rationnelle : si $a/b$ , avec $a \wedge b = 1$ et $b \geqslant 1$ , en était une, $b$ diviserait $a^3$ et $a$ diviserait $b^3$ , d'où $b = 1$ et $a = \pm 1$ par le lemme de Gauss appliqué à $a \cdot a \cdot a$ et à $b \cdot b \cdot b$ (PGCD, Bézout, (iii)), alors que le polynôme vaut $-1$ en $1$ et $3$ en $-1$ . De degré $3$ , il est donc irréductible (Irréductibles, (iii)), et une racine $r$ engendre un corps $\mathbb Q(r)$ de degré $3$ . De $r^3 = 3r - 1$ , on tire $r^4 = 3r^2 - r$ et $r^6 = 9r^2 - 6r + 1$ , d'où $\begin{aligned} &(r^2 - 2)^3 - 3(r^2 - 2) + 1 \\ &\quad = r^6 - 6r^4 + 9r^2 - 1 = 0. \end{aligned}$ Ainsi $s = r^2 - 2$ est une autre racine, distincte de $r$ , puisque $r^2 - r - 2 = (r - 2)(r + 1)$ ne s'annule pas, $2$ et $-1$ n'étant pas racines. La somme des trois racines est l'opposé du coefficient de $X^2$ , qui est nul : la troisième est $-r - s$ , qui appartient encore à $\mathbb Q(r)$ , et $\mathbb Q(r)$ est un corps de décomposition de degré $3$ .

Repose sur

Éléments algébriques et polynôme minimal

Sert à

Polynômes séparables et caractéristique Le polynôme X⁵ − 4X + 2 et ses racines