Théorème 1Théorie de Galois

Extensions de corps et multiplicativité des degrés

Une extension $L/K$ est la donnée d'un corps $L$ et d'un sous-corps $K$ ; $L$ est alors un $K$ -espace vectoriel, et le degré $[L:K]$ est sa dimension si $L$ est de dimension finie sur $K$ ; on écrit $[L:K] = \infty$ sinon. L'extension est finie si son degré l'est.

Pour $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$ , ${K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)}$ désigne le plus petit sous-corps de $L$ contenant $K$ et les $\alpha_i$ , intersection des sous-corps qui les contiennent.

Énoncé

Multiplicativité. Si $K \subset M \subset L$ , avec $(m_i)$ une base de $M$ sur $K$ et $(l_j)$ une base de $L$ sur $M$ , la famille $(m_il_j)$ est une base de $L$ sur $K$ . En particulier $[L:K] = [L:M]\,[M:K]$ quand ces degrés sont finis, et $[M:K]$ divise $[L:K]$ .

Démonstration

Tout $x \in L$ s'écrit $\sum_j \lambda_j l_j$ avec $\lambda_j \in M$ , et chaque $\lambda_j = \sum_i \kappa_{ij} m_i$ avec $\kappa_{ij} \in K$ , d'où $x = \sum_{i,j} \kappa_{ij} m_il_j :$ la famille est génératrice.

Si $\sum_{i,j} \kappa_{ij} m_il_j = 0$ , alors $\sum_j \Big(\sum_i \kappa_{ij}m_i\Big) l_j = 0,$ donc chaque $\sum_i \kappa_{ij}m_i = 0$ par liberté des $l_j$ sur $M$ , puis chaque $\kappa_{ij} = 0$ par liberté des $m_i$ sur $K$ (Familles libres, bases).

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que $[L:K]$ mesure une « taille » au sens du cardinal : ${\mathbb C}/{\mathbb R}$ est de degré $2$ alors que $\mathbb R/{\mathbb Q}$ est de degré infini, puisque $\mathbb R$ n'est pas dénombrable et qu'un $\mathbb Q$ -espace de dimension finie l'est.

Le degré est une dimension, et c'est la multiplicativité qui le rend si efficace : elle interdit à $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ , de degré $3$ , de contenir $\sqrt 2$ , de degré $2$ .

Repose sur

Algèbre linéaire

Sert à

Éléments algébriques et polynôme minimal Indépendance des caractères et théorème d'Artin