Indépendance des caractères et théorème d'Artin

(i) Supposons une relation non triviale, de longueur minimale $r \geqslant 2$, disons $\sum_{i=1}^r a_i\sigma_i = 0$ avec tous les $a_i \neq 0$. Soit $y$ tel que $\sigma_1(y) \neq \sigma_2(y)$. En appliquant la relation à $yx$ et en retranchant $\sigma_1(y)$ fois la relation, on obtient $$\sum_{i=2}^r a_i\big(\sigma_i(y) - \sigma_1(y)\big)\sigma_i = 0,$$ relation non triviale plus courte : contradiction. Une relation de longueur $1$ est impossible, puisque $\sigma_1(1) = 1$.

(iii) Si $[L:K] = m$ avec une base $(e_1, \dots, e_m)$ et si $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ sont des éléments distincts de $\operatorname{Aut}(L/K)$ avec $n > m$, le système $\sum_i a_i\sigma_i(e_k) = 0$, $1 \leqslant k \leqslant m$, a $n$ inconnues et $m$ équations : il a une solution non nulle dans $L^n$ (Théorème du rang). Par $K$-linéarité, $\sum_i a_i\sigma_i = 0$ sur $L$, ce que (i) interdit.

(ii) Soit $K = L^G$ et $n = |G|$. Si $[L:K]$ est infini, l'inégalité $|G| \leqslant [L:K]$ est triviale ; sinon, elle est le point (iii), puisque $G \subset \operatorname{Aut}(L/K)$.

Réciproquement, soient $x_1, \dots, x_m \in L$ avec $m > n$. Le système $\sum_j \sigma(x_j)y_j = 0$, $\sigma \in G$, de $n$ équations à $m$ inconnues, a des solutions non nulles ; prenons-en une, $y$, ayant le moins possible de coordonnées non nulles, et normalisée par $y_1 = 1$.

Pour $\tau \in G$, $\tau(y)$ est encore solution, les équations étant permutées, et $y - \tau(y)$ a moins de coordonnées non nulles, puisque sa première est nulle : donc $\tau(y) = y$, et $y \in {K^m}$. L'équation de $\sigma = \mathrm{id}$ donne $\sum x_jy_j = 0$ : les $x_j$ sont liés sur $K$. Donc $[L:K] \leqslant n$, et $[L:K] = |G|$.

Enfin $G \subset \operatorname{Aut}(L/K)$, de cardinal au plus $[L:K] = |G|$ par (iii).