Théorème 5Théorie de Galois

Extensions galoisiennes

Une extension finie $L/K$ est galoisienne si $L^{{\operatorname{Aut}}(L/K)} = K$ . Son groupe de Galois est alors ${\operatorname{Gal}}(L/K) = \operatorname{Aut}(L/K)$ .

Énoncé

Pour une extension finie $L/K$ , sont équivalents :

(a) $L$ est le corps de décomposition sur $K$ d'un polynôme séparable ;

(b) $|\operatorname{Aut}(L/K)| = [L:K]$ ;

Dans ce cas, le polynôme minimal de tout $\alpha \in L$ est séparable et scindé sur $L$ : ses racines sont les images $\sigma(\alpha)$ , $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)$ .

Démonstration

(a) ⇒ (b) : le prolongement de l'identité de $K$ en automorphismes de $L$ se fait de exactement $[L:K]$ façons (Corps de décomposition, (ii), avec $L' = L$ ).

(b) ⇒ (c) : par Artin (Dedekind, Artin), $[L:L^G] = |G| = [L:K]$ pour $G = \operatorname{Aut}(L/K)$ , et $K \subset L^G$ ; par multiplicativité, $[L^G:K] = 1$ .

(c) ⇒ (a) : soit $G = \operatorname{Aut}(L/K)$ , fini par Artin. Pour $\alpha \in L$ , soient $\alpha_1 = \alpha, \dots, \alpha_r$ les éléments distincts de l'orbite $G\alpha$ , et $P_\alpha = \prod_i (X - \alpha_i).$ Tout $\sigma \in G$ permute les $\alpha_i$ , donc fixe les coefficients de $P_\alpha$ , qui sont dans $L^G = K$ .

Ainsi $\mu_\alpha$ divise $P_\alpha$ ; et tout $\alpha_i = \sigma(\alpha)$ annule $\mu_\alpha$ , donc $P_\alpha$ divise $\mu_\alpha$ : $P_\alpha = \mu_\alpha$ , séparable et scindé sur $L$ .

Si $(e_1, \dots, e_m)$ est une base de $L$ sur $K$ , le produit des polynômes minimaux distincts des $e_k$ , irréductibles et donc deux à deux premiers entre eux, est séparable par définition : chacun est scindé sur $L$ à racines simples, par ce qui précède, et deux d'entre eux, premiers entre eux, n'ont aucune racine commune ; ainsi $L$ en est un corps de décomposition.

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Remarque

L'extension $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})/{\mathbb Q}$ n'est pas galoisienne : ses seuls automorphismes fixent $\sqrt[3]2$ , puisque les deux autres racines de $X^3 - 2$ ne sont pas réelles, et $|\operatorname{Aut}| = 1 < 3$ .

Les trois racines de

X^3 - 2

dans

\mathbb C

sont

\alpha = \sqrt[3]2

\alpha j

\alpha j^2

, aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon

\alpha

. Le corps

\mathbb Q(\alpha)

est contenu dans la droite réelle, qui ne porte que la racine

\alpha

: un automorphisme de

\mathbb Q(\alpha)

, qui envoie

\alpha

sur une racine de

X^3 - 2

appartenant à

\mathbb Q(\alpha)

, fixe donc

\alpha

Remarque

L'erreur la plus répandue est de parler du groupe de Galois d'une extension qui n'est pas galoisienne : seul $\operatorname{Aut}(L/K)$ a un sens, et il peut être trop petit. On travaille alors dans un corps de décomposition qui la contient, ici $\mathbb Q(\sqrt[3]2, j)$ .

Repose sur

Polynômes séparables et caractéristique Indépendance des caractères et théorème d'Artin

Sert à

La correspondance de Galois Corps finis