La correspondance de Galois

(i) Pour un corps intermédiaire $M$, $L/M$ est galoisienne, car $L$ est le corps de décomposition sur $M$ du même polynôme séparable (Extensions galoisiennes, (a)) ; donc $L^{\operatorname{Gal}(L/M)} = M$.

Pour un sous-groupe $H$, Artin (Dedekind, Artin) donne $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$ et $[L:L^H] = |H|$. Les deux applications sont donc réciproques ; elles renversent évidemment les inclusions. Enfin $$[L^H:K] = \frac{[L:K]}{[L:L^H]} = \frac{|G|}{|H|}$$ par multiplicativité.

(ii) Soit $H = \operatorname{Gal}(L/M)$. Pour $\sigma \in G$, $\operatorname{Gal}(L/\sigma(M)) = \sigma H\sigma^{-1}$. En effet, $\tau$ fixe $\sigma(M)$ point par point si et seulement si $\sigma^{-1}\tau\sigma$ fixe $M$.

Si $H$ est distingué, tout $\sigma$ envoie $M$ dans $M = L^{\sigma H \sigma^{-1}}$, d'où un morphisme de restriction $G \to {\operatorname{Aut}}(M/K)$, de noyau $H$ ; son image est d'ordre $|G|/|H| = [M:K]$, donc égale à $\operatorname{Aut}(M/K)$ par Artin, et $M/K$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (b)), de groupe $G/H$ (Isomorphisme).

Réciproquement, si $M/K$ est galoisienne et $\alpha \in M$, les racines de $\mu_\alpha$ sont dans $M$, donc $\sigma(\alpha) \in M$ pour tout $\sigma \in G$ : $\sigma(M) \subset M$. L'égalité vient de ce que $\sigma$ est une application K-linéaire injective, donc $[\sigma(M):K] = [M:K]$ ; ainsi $\sigma(M) = M$ (Dimension, (iii)), et $\sigma H \sigma^{-1} = H$.