Le théorème de Galois sur les radicaux

Réduction à une tour galoisienne. Soit $R$ radicale contenant le corps de décomposition $L$ de $P$, avec les notations ci-dessus, et $m$ le produit des $m_i$.

Soit $\Omega$ un corps de décomposition sur $K$ du produit $Q$ de $X^m - 1$ et des polynômes minimaux des $\beta_i$ sur $K$.

On plonge $R$ dans $\Omega$ au-dessus de $K$ en envoyant successivement chaque $\beta_i$ sur une racine, dans $\Omega$, de l'image de son polynôme minimal sur $K_{i-1}$, qui divise le polynôme minimal de $\beta_i$ sur $K$ et est donc scindé sur $\Omega$. C'est le pas élémentaire de la preuve de Corps de décomposition, (ii) : si $\mu$ est le polynôme minimal de $\beta_i$ sur $K_{i-1}$, alors $K_{i-1}(\beta_i) \cong K_{i-1}[X]/(\mu)$. On suppose désormais $R \subset \Omega$.

En caractéristique nulle, $Q$ peut être pris séparable, en ne gardant que ses facteurs irréductibles distincts (Séparabilité), si bien que $\Omega/K$ est galoisienne de groupe $G$. Le corps $\Omega$ est engendré sur $K$ par les racines $m$-ièmes de l'unité et par les $\sigma(\beta_i)$, $\sigma \in G$ (Extensions galoisiennes).

Ajoutons d'abord une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ : $K_0' = K(\zeta)$. Elle existe dans $\Omega$. En effet, $X^m - 1$ est premier avec sa dérivée, puisque $X^m - 1 - \frac Xm \cdot mX^{m-1} = -1$, donc séparable (Séparabilité, (ii)) ; ses $m$ racines, toutes dans $\Omega$, forment un sous-groupe fini de $\Omega^\times$, cyclique (Groupe multiplicatif, (iii)) et d'ordre $m$, dont un générateur convient. Puis ajoutons les $\sigma(\beta_1)$ pour tous les $\sigma$, puis les $\sigma(\beta_2)$, et ainsi de suite.

Chaque élément ajouté a une puissance $m_i$-ième dans le corps précédent, puisque $$\sigma(\beta_i)^{m_i} = \sigma(\beta_i^{m_i})$$ et que $\beta_i^{m_i} \in K(\beta_1, \dots, \beta_{i-1})$.

On obtient une tour $$K \subset K_0' \subset K_1' \subset \cdots \subset K_s' = \Omega$$ où chaque étage ajoute un élément $\gamma$ avec $\gamma^{k} \in$ l'étage précédent, $k \mid m$.

Chaque étage est galoisien abélien. $K(\zeta)$ est le corps de décomposition de $X^m - 1$, dont les racines sont les $\zeta^j$ ; un automorphisme est déterminé par $\zeta \mapsto \zeta^{a}$, et deux tels automorphismes commutent.

Soit un étage $E \subset E(\gamma)$ avec $\gamma^k = c \in E$ et $\zeta \in E$. Si $\gamma = 0$, l'étage est trivial. Sinon $c \neq 0$, et $X^k - c$, premier avec sa dérivée $kX^{k-1}$, puisque $X^k - c - \frac Xk \cdot kX^{k-1} = -c$, est séparable ; $E(\gamma)$ est le corps de décomposition de $X^k - c$, dont les racines sont les $\zeta^{jm/k}\gamma$ ; un automorphisme envoie $\gamma$ sur $\eta\gamma$ avec $\eta^k = 1$, $\eta \in E$, et deux tels automorphismes commutent. Donc chaque étage est une extension galoisienne de groupe abélien.

Conclusion. Notons $H_j = {\operatorname{Gal}}(\Omega/K_j')$, avec $H_{-1} = G$. Comme $K_j'/K_{j-1}'$ est galoisienne, $H_j$ est distingué dans $H_{j-1}$ et $H_{j-1}/H_j \cong \operatorname{Gal}(K_j'/K_{j-1}')$ est abélien (Théorème fondamental, (ii), appliqué à l'extension galoisienne $\Omega/K_{j-1}'$). Donc $G$ est résoluble.

Enfin $L/K$ est galoisienne : $L$ est aussi le corps de décomposition du produit des facteurs irréductibles distincts de $P$, qui ont les mêmes racines, et ce produit est séparable en caractéristique nulle (Séparabilité, (iv)), deux irréductibles unitaires distincts étant premiers entre eux. Ainsi $\operatorname{Gal}(L/K) \cong G/\operatorname{Gal}(\Omega/L)$ est un quotient de $G$, résoluble par Groupes résolubles, (ii).