ChapitreThéorie de Galois

Théorème 90 de Hilbert et théorie de Kummer

Le groupe de Galois $G$ d'une extension galoisienne $L/K$ agit sur le groupe additif $L$ et sur le groupe multiplicatif $L^\times$ : ce sont deux $G$-modules, et la cohomologie des groupes s'y applique. Le chapitre démontre le théorème 90 de Hilbert, sous la forme de Noether et Speiser, $H^1(G, L^\times) = 1$, et sa forme additive $H^1(G, L) = 0$, toutes deux par l'indépendance des caractères de Dedekind. Pour une extension cyclique, il en résulte qu'un élément de norme $1$ s'écrit $y/\sigma(y)$, et qu'un élément de trace nulle s'écrit $y - \sigma(y)$.

La théorie de Kummer en découle : si $K$ contient une racine primitive $n$-ième de l'unité, les extensions cycliques de degré $n$ sont les extensions $K(\alpha)$ avec $\alpha^n \in K$ et $[K(\alpha):K] = n$. En caractéristique $p$, la théorie d'Artin-Schreier décrit de même les extensions cycliques de degré $p$ par les racines des polynômes $X^p - X - a$.

Le chapitre en tire la réciproque du théorème de Galois sur les radicaux : en caractéristique nulle, un polynôme dont le groupe de Galois est résoluble est résoluble par radicaux. Il retrouve enfin, par le théorème 90 appliqué à $\mathbb Q(i)/\mathbb Q$, la description des points rationnels du cercle et des triplets pythagoriciens. Aucune forme du choix n'intervient.