Théorie de Kummer

(i) Comme $\zeta^{-1} \in K$, sa norme est $\zeta^{-n} = 1$ (Norme et trace, (ii)). Par la forme cyclique du théorème 90 (Forme cyclique, (i)), $\zeta^{-1} = y/\sigma(y)$ avec $y \in L^\times$, c'est-à-dire $\sigma(y) = \zeta y$ : $\alpha = y$ convient.

Soit $\alpha$ tel que $\sigma(\alpha) = \zeta\alpha$, nécessairement non nul. Alors $\sigma^k(\alpha) = \zeta^k\alpha$, et ces $n$ éléments, pour $0 \leqslant k < n$, sont distincts. Ce sont des racines du polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$, qui est donc de degré au moins $n$ (Racines, (iii)) : $[K(\alpha) : K] \geqslant n = [L:K]$, et $K(\alpha) = L$ par multiplicativité des degrés (Extensions, degré).

Enfin $\sigma(\alpha^n) = \zeta^n\alpha^n = \alpha^n$ : l'élément $\alpha^n$ est fixé par $\sigma$, donc par toutes ses puissances, c'est-à-dire par $G$, et il appartient à $L^G = K$.

(ii) Les $n$ éléments $\zeta^k\alpha$, $0 \leqslant k < n$, sont des racines de $X^n - a$, distinctes puisque $\alpha \neq 0$. Ce polynôme unitaire de degré $n$ est donc leur produit $\prod_k (X - \zeta^k\alpha)$ (Racines, (iii)) ; il est séparable, et $K(\alpha)$, qui contient toutes ses racines, en est un corps de décomposition. L'extension $K(\alpha)/K$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)).

Pour $\tau$ dans son groupe $\Gamma$, $\tau(\alpha)$ est une racine de $X^n - a$, donc s'écrit $\omega_\tau\alpha$ avec un unique $\omega_\tau \in \mu_n(K)$. Comme $\omega_\tau \in K$ est fixé, $\tau'\tau(\alpha) = \omega_\tau\omega_{\tau'}\alpha$ : l'application $\tau \mapsto \omega_\tau$ est un morphisme de $\Gamma$ dans le groupe cyclique $\mu_n(K)$. Elle est injective, puisque $\omega_\tau = 1$ signifie que $\tau$ fixe $\alpha$, donc $K(\alpha)$.

Ainsi $\Gamma$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mu_n(K)$ : il est cyclique, d'ordre $d$ divisant $n$ (Groupes cycliques, (iii)), et $[K(\alpha):K] = d$. Pour $\tau \in \Gamma$, $\omega_\tau^d = 1$ par le théorème de Lagrange, donc $\tau(\alpha^d) = \alpha^d$, et $\alpha^d \in K$.