Corollaire 1Théorème 90 de Hilbert et théorie de Kummer

Le théorème 90 pour une extension cyclique

Une extension cyclique est une extension galoisienne dont le groupe de Galois est cyclique.

Énoncé

Soit $L/K$ une extension cyclique de degré $n$ , et $\sigma$ un générateur de son groupe.

(i) Un élément $x \in L^\times$ vérifie $N_{L/K}(x) = 1$ si et seulement s'il existe $y \in L^\times$ tel que $x = y/\sigma(y)$ .

(ii) Un élément $x \in L$ vérifie $\operatorname{Tr}_{L/K}(x) = 0$ si et seulement s'il existe $y \in L$ tel que $x = y - \sigma(y)$ .

Démonstration

Le groupe est $G = \{\sigma^k : 0 \leqslant k < n\}$ (Groupes cycliques, (i)), de sorte que le morphisme $N_\sigma$ du nœud Le groupe H¹ est la norme pour le $G$ -module $L^\times$ , noté multiplicativement, et la trace pour le $G$ -module $L$ .

(i) Par le point (ii) du nœud Le groupe H¹, $H^1(G, L^\times)$ est isomorphe au quotient du noyau de la norme par le sous-groupe des $\sigma(z)/z$ , $z \in L^\times$ . Il est trivial par le théorème 90 (Hilbert 90) : tout $x$ de norme $1$ s'écrit $\sigma(z)/z$ , c'est-à-dire $y/\sigma(y)$ avec $y = z^{-1}$ . Réciproquement, $N_{L/K}(y/\sigma(y)) = N_{L/K}(y)/N_{L/K}(\sigma(y)) = 1$ (Norme et trace, (ii)).

(ii) De même, $H^1(G, L) = 0$ (Hilbert 90 additif) : tout $x$ de trace nulle s'écrit $\sigma(z) - z$ , c'est-à-dire $y - \sigma(y)$ avec $y = -z$ ; et $\operatorname{Tr}_{L/K}(y - \sigma(y)) = 0$ .

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Remarque

Dans ${\mathbb Q}(\sqrt 2)/\mathbb Q$ , le générateur $\sigma$ change le signe de $\sqrt 2$ , et $x = 3 + 2\sqrt 2$ est de norme $9 - 8 = 1$ . La preuve du théorème 90, avec $c = 1$ , fournit $y = 1 + x = 4 + 2\sqrt 2$ , et l'on vérifie $\frac{4 + 2\sqrt 2}{4 - 2\sqrt 2} = \frac{(4 + 2\sqrt 2)^2}{8} = 3 + 2\sqrt 2.$ Le résultat dit que $x$ , unité de norme $1$ , est le quotient d'un nombre par son conjugué.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre la norme avec le carré du module. Pour $\mathbb Q(i)/\mathbb Q$ , le générateur est la conjugaison complexe, et la norme de $x$ est bien $|x|^2$ : ainsi $i$ , de norme $1$ , s'écrit $(1 + i)/(1 - i)$ . Mais pour $\mathbb Q(\sqrt 2)/\mathbb Q$ , le générateur n'est pas la conjugaison complexe, qui fixe $\sqrt 2$ , et $3 + 2\sqrt 2$ , réel supérieur à $5$ , est pourtant de norme $1$ .

Repose sur

Théorème 90 de Hilbert Forme additive du théorème 90

Sert à

Théorie de Kummer Extensions cycliques de degré p en caractéristique p Points rationnels du cercle et triplets pythagoriciens